On considère un ensemble gaussien de valeur $\beta$ donnée ($\beta =1$ pour l'ensemble orthogonal (GOE), $\beta=2$ pour l'ensemble unitaire (GUE) et $\beta=4$ pour l'ensemble symplectique (GSE)) constitué de matrices $M$ (symétriques, hermitiennes, quaternioniques respectivement) de taille nxn avec les éléments diagonaux centrés de variance 1 et les éléments non diagonaux centrés de variance $\sigma^2$.

Soit $\lambda_{max}$ une variable aléatoire correspondant à la plus grande valeur propre de la matrice $M$. La suite $\left(X_n \right)_{n \geq 0}$ de variables aléatoires $$X_n:=\left( \frac{\lambda_{max}}{\sigma} - 2\sqrt{n} \right)n^{1/6}$$ converge en loi vers la distribution dite de Tracy-Widom notée $f_{\beta}$ de fonction de répartition $F_{\beta}$ ($F'_\beta = f_\beta$):

donnée par:

où $q(x)$ est la solution de l'équation de Painlevé II:

avec la condition asymptotique $\lim_{x \to +\infty} q(x) = Ai(x)$ (fonction d'Airy).

Le programme effectue $N$ tirages de matrices de taille nxn de l'ensemble GUE avec l'écart-type unitaire: $\sigma=1$. Il construit un histogramme des plus grandes valeurs propres préalablement recentrées et mises à l'échelle : $\lambda_{max} \leftarrow \left( \lambda_{max}- 2\sqrt{n} \right)n^{1/6}$. On compare le résultat avec la loi de Tracy-Widom $f_2(s)$ trouvée en résolvant l'équation de Painlevé II (avec la méthode scipy.integrate.solve_ivp).

Remarque: Une variable aléatoire complexe de variance $\sigma^2$ est composée de parties réelle et imaginaire qui ont chacune une variance $\frac{\sigma^2}{2}$. Ainsi, pour générer un nombre complexe $z$ selon la loi gaussienne centrée en 0 et de variance 1 on écrira z=np.random.normal(0,1/np.sqrt(2.))+1j*np.random.normal(0,1/np.sqrt(2.)), le deuxième argument de numpy.random.normal correspondant à l'écart type $\sigma$.