fixed some mistakes in the dutch abstract

latex/main paper/dutch_abstract.tex

@@ -1,22 +1,23 @@
-Unbiased algoritmes voor het oplossen van lineaire initiële waardeproblemen zijn
+Unbiased algoritmes voor het oplossen van lineaire beginwaardeproblemen zijn
 nauwelijks bestudeerd.
-Dit wordt aangepakt door het presenteren van unbiased recursieve Monte Carlo-methoden
-voor het oplossen van lineaire initiële waardeproblemen en lineaire Fredholm-integraalvergelijkingen
+In deze thesis presenteren wij unbiased recursieve Monte Carlo methoden
+voor het oplossen van lineaire beginwaardeproblemen en lineaire Fredholm-integraalvergelijkingen
 van de tweede soort. Gemotiveerd door random
 parallelle complexiteit en downstream-toepassingen voor partiële differentiaalvergelijkingen.
 
 Voorheen waren alleen biased methoden bekend die optimale convergentiesnelheden bereiken
-voor niet-lineaire initiële waardeproblemen, wat voornamelijk theoretische betekenis heeft.
-De voorgestelde RRMC methode, een unbiased algoritme voor lineaire initiële waardeproblemen,
-samen met control variated, wordt vermoed om orde-optimaal te zijn met hoge kans
+voor niet-lineaire beginwaardeproblemen, wat voornamelijk theoretische betekenis heeft.
+De voorgestelde RRMC methode, een unbiased algoritme voor lineaire beginwaardeproblemen,
+samen met control variates, wordt vermoed orde-optimaal te zijn met hoge kans
 voor overeenkomstige gladheidsklassen.
 
 Daarnaast wordt het main Poisson algoritme voorgesteld, dat het algoritme in \cite{acebron_monte_2016} veralgemeend,
 dat simpel en voorwaarts-implementeerbaar is. Het main Poisson algoritme wordt toegepast op de semi-gediscreteerde
-warmtevergelijking om een pad-resampling-techniek te demonstreren, dit biedt een nieuwe perspectief van Walk on Spheres methode,
+warmtevergelijking om een pad-resampling-techniek te demonstreren, dit biedt een nieuw perspectief van
+het Walk on Spheres algoritme,
 met potentieel voor alternatieve veralgemeningen.
 
 De voorgestelde methoden verbreden
 wat mogelijk lijkt te zijn met unbiased algoritmes voor
-het oplossen van lineaire initiële waardeproblemen,
+het oplossen van lineaire beginwaardeproblemen,
 en wijzen de weg uit voor verder onderzoek in dit gebied.

latex/main paper/main.tex

@@ -182,9 +182,10 @@ \subsection{Monte Carlo Integration}
  needed and accuracy.
 \end{definition}
 
-Note that we consider average
-amount of function calls as a measure of cost instead of deterministic
-amount of function calls used which encompasses a broader range of algorithms.
+Note that we consider the average amount of function calls as a measure of cost,
+rather than the deterministic amount of function calls used. We implicitly assume that the variance of the amount
+of function calls exists, which provides confidence intervals for the function calls through Chebyshev's inequality.
+
 
 \begin{example}[IBC of (\ref{eq:BLUE})]
  In (\ref{eq:BLUE}) the function calls trades of
@@ -375,7 +376,7 @@ \subsection{Modifying Monte Carlo}
  Splitting $X$ refers to utilizing multiple $X_{j} \cong X$ (not necessarily independent) to
  reduce variance by taking their average:
  \begin{equation}
- X \cong \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} X_{j}.
+ X \cong \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_{j}.
  \end{equation}
 \end{definition}
 
@@ -743,18 +744,20 @@ \subsection{Recursion}
 \begin{definition}[Main Poisson] \label{def:main poisson}
  Consider the following linear IVP with $\forall s>0 \in \mathbb{R}: f(s) \in \mathbb{R}^{n}, A(s) \in \mathbb{R}^{n \times n}$:
  \begin{align}
- y' & = A y + f \Leftrightarrow  \\
- y'+\sigma y  & = (A + \sigma I) y + f\Leftrightarrow  \\
- e^{-\sigma t} ( e^{\sigma t}y)' & = (A + \sigma I) y + f \Leftrightarrow  \\
- y(t) & = e^{-\sigma t} y(0) + \int_{0}^{t} e^{(s-t) \sigma} \left( (A(s) + \sigma I ) y(s) +f(s)\right) ds.
+ y_t & = A(t) y + f(t) \Leftrightarrow \\
+ y_t + \sigma y & = (A(t) + \sigma I) y + f(t) \Leftrightarrow \\
+ e^{-\sigma t} ( e^{\sigma t}y)_t & = (A(t) + \sigma I) y + f(t) \Leftrightarrow \\
+ y(t)  & = e^{-\sigma t} y(0) + \int_{0}^{t} e^{(s-t) \sigma} \left( (A(s) + \sigma I ) y(s) +f(s)\right) ds.
  \end{align}
+
  With $\sigma>0 \in \mathbb{R}$ . Do following substitution: $e^{(s-t)\sigma} = \tau$ equivalent to importance sampling
  the exponential term:
  \begin{equation} \label{eq:poisson main}
  y(t) = \int_{0}^{e^{-\sigma t}} y(0) d\tau + \int_{e^{-\sigma t}}^{1} \left( \frac{A(s)}{\sigma} + I\right) y(s) + \frac{f(s)}{\sigma} d\tau
  .
  \end{equation}
- Sampling $\tau$ uniformly is equivalent to sampling the next event in a Poisson process.
+ Sampling $\tau$ uniformly is equivalent to sampling the next event in a Poisson process,
+ which produces an unbiased estimator of the solution to the linear IVP.
 \end{definition}
 
 \begin{julia}[Implementation of \ref{def:main poisson}] \label{jl:main poisson}
@@ -767,7 +770,7 @@ \subsection{Recursion}
  Figure \ref{fig:main poisson error} and Figure \ref{fig:main poisson convergence} demonstrate the convergence
  behavior of the estimator. The estimated convergence of RMSE is $O(\sigma^{-0.5} nsim^{-0.5})$, the amount of
  time steps is simply $\sim$ Poisson($\sigma t$). Note that unlike MC integration the cost of a simulation is not
- a bounded, therefore wall clock time at risk increases with $nsim$.
+ a bounded, resulting in increased wall clock time at risk as $nsim$ grows for parallel simulations.
 
 \end{julia}
 
@@ -786,8 +789,8 @@ \subsection{Recursion}
 \begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[width=\textwidth]{julia_plots/main_poisson_convergence.pdf}
- \caption{Realizations of norm of the error of \ref{jl:main poisson} for (\ref{couple recu ex1}) and (\ref{couple recu ex2}) with $a=1$,
- $nsim =1$ and $\sigma$ variable or $nsim$ variable and $\sigma = 1$. $nsim$ denoting the number of simulations
+ \caption{Realizations of norm of the error at $t=1$ of \ref{jl:main poisson} for (\ref{couple recu ex1}) and (\ref{couple recu ex2}) with $a=1$,
+ $nsim =1$ and $\sigma$ variable or $nsim$ variable and $\sigma = 1$ . $nsim$ denoting the number of simulations
  when splitting the whole estimator.}
  \label{fig:main poisson convergence}
 \end{figure}
@@ -847,6 +850,10 @@ \subsection{Recursion}
  When $(v)_{j} = \delta_{jn}$ we obtain an estimator for $(y(t))_{n}$.
 \end{julia}
 
+\begin{related}[Adjoint tail recursion]
+ \cite{ermakov_monte_2021} also proposes an unbiased method for functionals of linear IVPs.
+\end{related}
+
 \section{Ordinary Differential Equations}
 
 \subsection{Green's Functions}