Théorème de Tijdeman
En théorie des nombres, le théorème de Tijdeman affirme qu'il y a au plus un nombre fini de puissances consécutives. Autrement dit, l'ensemble des solutions entières x, y, n, m de l'équation diophantienne exponentielle
- ,
pour des exposants n et m strictement supérieurs à 1, est fini[1],[2].
Histoire
[modifier | modifier le code]Le théorème a été prouvé par le théoricien des nombres néerlandais Robert Tijdeman en 1976[3], en utilisant le théorème de Baker en théorie des nombres transcendants pour donner un majorant effectif de x, y, m, n. Michel Langevin a calculé une valeur de exp exp exp exp 730 comme majorant pour ym[4],[5].
Le théorème de Tijdeman a fourni une forte impulsion pour la preuve de la conjecture de Catalan, finalement fournie en 2002 par Preda Mihăilescu[6],[7]. Le théorème de Mihăilescu établit que l'ensemble dont Tijdeman avait prouvé la finitude n'est qu'un singleton, la seule solution étant 32 = 23 + 1.
Problème de Tijdeman généralisé
[modifier | modifier le code]Que les puissances soient consécutives est essentiel dans la preuve de Tijdeman ; si l'on remplace la différence de 1 par k, et qu'on demande le nombre de solutions de
avec n et m strictement supérieurs à 1, on obtient un problème non résolu[8], appelé le problème de Tijdeman généralisé. Il est conjecturé que pour tout entier k > 0, cet ensemble est également fini. Cela découlerait d'une conjecture encore plus forte, celle de Pillai (1931), prévoyant que pour k, A et B > 0 fixés, l'équation n'a qu'un nombre fini de solutions. Une conjecture encore plus forte que celle de Pillai est la conjecture abc[9].
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Władysław Narkiewicz, Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT, Springer-Verlag, coll. « Springer Monographs in Mathematics », (ISBN 0-857-29531-4), p. 352.
- (en) Wolfgang M. Schmidt, Diophantine Approximations and Diophantine Equations, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 1467), , 2e éd. (ISBN 3-540-54058-X, zbMATH 0754.11020), p. 207.
- (en) Robert Tijdeman, « On the equation of Catalan », Acta Arithmetica, vol. 29, no 2, , p. 197-209 (zbMATH 0286.10013).
- (en) Paulo Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer-Verlag, (ISBN 0-387-90432-8, zbMATH 0456.10006), p. 236.
- Michel Langevin, « Quelques applications de nouveaux résultats de Van der Poorten », Séminaire Delange-Pisot-Poitou, vol. 17, no 2, 1975-76, article no G12 (lire en ligne).
- (en) Tauno Metsänkylä, « Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 41, no 1, , p. 43-57 (DOI 10.1090/S0273-0979-03-00993-5, lire en ligne).
- (en) Preda Mihăilescu, « Primary cyclotomic units and a proof of Catalan's conjecture », J. reine angew. Math., vol. 572, no 572, , p. 167-195 (DOI 10.1515/crll.2004.048).
- (en) T. N. Shorey et R. Tijdeman, Exponential Diophantine Equations, vol. 87, Cambridge/London/New York etc., Cambridge University Press, , 240 p. (ISBN 0-521-26826-5, zbMATH 0606.10011), p. 202.
- Narkiewicz 2011, p. 253-254.
