Jatorrizko funtzio

(x,y) puntu bakoitzari maldatzat ƒ(x) = (x³/3)-(x²/2)-x funtzioa duen bektore bat esleituz definitutako bektore-eremua. ƒ(x)-ren infinitu jatorrizkoetariko hiru erakusten dira, integrazio-konstantea K aldatuz lor daitezkeenak.

Matematikan, [a,b] tarte itxi batean definituriko f(x) edozein funtzio erreal emanda, f(x) funtzioaren jatorrizkoa edo antideribatua, [a,b] tartean definitua eta deribagarria den F(x) beste funtzio bati esaten zaio, non tarte horretan F(x) funtzioaren deribatua f(x) funtzioa den. Hau da:

$\forall x\in [a,b],\quad F\,'(x)=f(x).$

f funtzio batek tarte batean jatorrizkorik izateko baldintza nahikoa jarraitua izatea da.

Beraz, f funtzio batek jatorrizkorik badauka tarte batean, ezin konta ahala jatorrizko funtzio izango ditu, haien artean desberdinak konstante batengatik baino ez direnak: F₁ eta F₂ f-ren jatorrizkoetariko bi funtzio badira, orduan existitzen da K zenbaki erreala, integrazio-konstantea deritzoguna, non F₁ = F₂ + K den. Horregatik, f funtzioaren jatorrizkoen multzoa F + K da. Multzo horri f-ren integral mugagabea deritzogu eta honela adierazten dugu:

$\int {f}$   edo   $\int {f(x)dx}$

Funtzio baten jatorrizkoa kalkulatzeko prozesuri integrazio mugagabea deritzogu eta deribazioaren alderantzizko prozesua da. Integral mugagabeak integral mugatuekin erlazionatuta daude kalkuluaren oinarrizko teoremaren bitartez, eta hamaika funtzioren integral mugatua kalkulatzeko metodoa ematen dute.

Jatorrizkoen taulak

Funtzio sinpleak

$K,a,\omega ,\varphi$ konstante errealak dira, $\omega \neq 0$ izanda eta $K\,$ integrazio-konstantea.

Jatorrizko sinpleen taula

$f(x)$	$Definizio-eremua$	$F(x)$
${0}\,$	$\mathbb {R}$	${K}\,$
$x^{a},\forall \,a\in \mathbb {R} \backslash \{-1\}$	$\mathbb {R} ^{*}$ $a\in \mathbb {Z}$ bada; bestela $\mathbb {R} _{+}^{*}$	${\frac {x^{a+1}}{a+1}}+K$
${\frac {1}{x}}$	$\mathbb {R} ^{*}$	$\ln |x|+K\,$
$\cos(\omega x+\varphi )$	$\mathbb {R}$	${\frac {1}{\omega }}\sin(\omega x+\varphi )+K$
$\sin(\omega x+\varphi )$	$\mathbb {R}$	$-{\frac {1}{\omega }}\cos(\omega x+\varphi )+K$
${\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}$	$\mathbb {R} \backslash \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}$	$\tan {x}+K\,$
$-{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}\,$	$\mathbb {R} \backslash \left\{k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}$	$\operatorname {cotan} \,{x}+K\,$
$e^{x}\,$	$\mathbb {R}$	$e^{x}+K\,$
$\ln {x}\,$	$\mathbb {R} _{+}^{*}$	$x\ln {x}-x+K\,$
$\tan x={\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}$	$\mathbb {R} \backslash \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,k\in \mathbb {Z} \right\}$	$-\ln \ |\cos {x}|+K\,$
$\sin x\times \cos x$	$\mathbb {R}$	$-{\frac {1}{2}}\times \cos ^{2}{x}+K$

Kontuan izan taula horrek $x^{a}$ funtzioaren jatorrizkoak dituela $a\in \mathbb {N}$ (zenbaki arrunta) zenbakietarako ez ezik, baita $a\in \mathbb {Z}$ (zenbaki osoa) zenbakietarako ere, polinomioekin lan egitea errazten duena; esaterako: ${\frac {1}{x^{2}}}=x^{-2}$, eta $a$ zenbaki erreal ez osoa den kasuan ere, adibidez ${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$, ${\frac {1}{\sqrt {x}}}=x^{-{\frac {1}{2}}}$.

Funtzio konposatuak

$u$ eta $v$ bi funtzio konposatuak dira.

Jatorrizko konposatuen taula

$f(x)$	$F(x)$
$\lambda u^{\prime }$	$\lambda \ u+K$
$u^{\prime }+v^{\prime }$	$u+v+K\,$
$(v^{\prime }\circ u)\times (u^{\prime })$	$(v\circ u)+K$
$(u^{a})\times (u^{\prime }),\forall \,a\in \mathbb {R} \backslash \{-1\}$	${\frac {u^{a+1}}{a+1}}+K$
${\frac {u^{\prime }}{u}}$	$\ln {|u|}+K\,$
$\sin u\times u^{\prime }$	<center−>$-\cos \,{u}+K$
$e^{u}\times u^{\prime }$	$e^{u}+K\,$

Kanpo estekak

• Datuak: Q114326