Valorigo

En matematiko, valorigo estas funkcio, kiu asignas al ĉiu elemento de kampo valoron en komuta grupo, kiu mezuras iaspecan “gradon” de la korpa elemento.

Difino

Supozu, ke haveblas jeno:

• kampo $K$
• komuta tute ordigita grupo $(\Gamma ,+,\geq )$.

Oni povas pluigi la grupon $\Gamma$ al la ĉi-suba tute ordigita monoido $\Gamma \sqcup \{\infty \}$:

$\infty \geq \alpha \qquad \forall \alpha \in \Gamma$

$\infty +\alpha =\alpha +\infty =\infty \qquad \forall \alpha \in \Gamma$.

Do, valorigo sur $K$ estas bildigo

$v\colon K\to \Gamma \sqcup \{\infty \}$

kiu plenumas la ĉi-subajn aksiomojn:

• Pri ajna $a\in K$, do $v(a)=\infty$ se kaj nur se $a=0$.
• (Homomorfieco) Pri ajnaj $a,b\in K$, do $v(ab)=v(a)+v(b)$.
• Pri ajnaj $a,b\in K$, do $v(a+b)\geq \min(v(a),v(b))$, kaj $v(a+a)=v(a)$.

La valorringo de la valorigo $v$ estas la ringo de elementoj de $K$, kies valoroj estas pozitivaj:

$\{a\in K\colon v(a)\geq 0\}$.

Tiu subaro de $K$ fakte formas subringon de $K$.

Ekvivalenteco inter valorigoj

Sur la sama kampo $K$, du valorigoj

$v\colon K\to \Gamma \sqcup \{\infty \}$

$v\colon K\to \Gamma '\sqcup \{\infty \}$

estas ekvivalentaj, se kaj nur se ekzistas ordo-respektanta grupa izomorfio

$\phi \colon \Gamma \to \Gamma '$

tia ke, por ĉiu $a\in K$,

$v'(a)=\phi (v(a))$.

Tio estas ekvivalentorilato; ekvivalentoklaso de valorigoj nomiĝas loko.

Ekzemploj

Laŭ la teoremo de Ostrowski, la valorigoj de la kampo de racionalaj nombroj estas ekvivalentaj al unu el la ĉi-subaj:

• la triviala valorigo,

  $v_{0}(x)={\begin{cases}\infty &x=0\\0&x\neq 0\end{cases}}$

• por ĉiu primo $p$, la p-ada valorigo, se $n\in \mathbb {Z}$ estas entjero kaj $a,b\in \mathbb {Z}$ estas primaj inter si kaj neniu el la du estas divideblaj per $p$,

  $v_{p}(p^{n}a/b)={\begin{cases}\infty &a=0\\n&a\neq 0\end{cases}}$

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Valuation en MathWorld.