Gaŭsa entjero

Gaŭsa entjero estas kompleksa nombro, kies reela kaj imaginara partoj ambaŭ estas entjeroj. La gaŭsaj entjeroj, kun ordinara adicio kaj multipliko de kompleksaj nombroj, formas integrecan ringon, kutime skribitan kiel Z[i]. Ĉi tiu ringo ne povas esti konvertita en orditan ringon, ĉar ĝi enhavas kvadratan radikon de -1.

Gaŭsaj entjeroj kiel kradaj punktoj en la kompleksa ebeno

Formale, gaŭsaj entjeroj estas la aro

$\{a+bi|a,b\in \mathbb {Z} \}.$

La normo de gaŭsa entjero estas la natura nombro difinita kiel

N(a + bi) = a² + b².

La normo estas multiplika, tio estas

N(z·w) = N(z)·N(w).

La unuoj de Z[i] estas pro tio precize tiuj eroj kun normo 1, tio estas la eroj

1, −1, i kaj −i.

Gaŭsaj primoj sur kompleksa ebeno

La primaj eroj de Z[i] estas ankaŭ nomataj gaŭsaj primoj. Iuj primoj (kiuj, kontraste, estas iam nomataj kiel "racionalaj primoj") estas ne gaŭsaj primoj; ekzemple 2 = (1 + i)(1 − i) kaj 5 = (2 + i)(2 − i). Tiuj racionalaj primoj kiuj estas kongruaj al 3 (mod 4) estas gaŭsaj primoj; tiuj kiuj estas kongruaj al 1 (mod 4) ne estas. Tio estas pro tio, ke primoj de la formo 4k + 1 ĉiam povas esti skribitaj kiel la sumo de du kvadratoj (teoremo de Fermat), do, ni havas

p = a² + b² = (a + bi)(a − bi).

Se la normo de gaŭsa entjero z estas primo, tiam z devas esti gaŭsa primo, ĉar ĉiu ne-bagatela faktorigo de z devus liveri ne-bagatelan faktorigon de la normo kaj neredukteblaj normoj estas primoj. Do, ekzemple 2 + 3i estas gaŭsa primo, ĉar ĝia normo estas 4 + 9 = 13.

Gaŭsa kriterio de tio ke gaŭsa entjero a+bi estas gaŭsa primo estas:

• a+bi estas gaŭsa primo se unu el la du sekvaj veras:
  • Unu el a, b estas nulo kaj la alia estas primo de la formo 4k + 3 aŭ ĝia negativo -(4k + 3).
  • Ambaŭ a kaj b estas nenulaj kaj a² + b² estas primo.

La ringo de gaŭsaj entjeroj estas la integreca fermaĵo de Z en la kampo de gaŭsaj racionalaj nombroj Q(i) konsistanta el la kompleksaj nombroj, kies reela kaj imaginara partoj estas ambaŭ racionalaj.

Estas facile vidi grafike, ke ĉiu kompleksa nombro estas en ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$ unuoj de gaŭsa entjero. Alivorte, ĉiu kompleksa nombro (kaj tial ĉiu Gaŭsa entjero) estas en ${\frac {\sqrt {2}}{2}}N(z)$ unuoj de iu oblo de z, kie z estas kiu ajn gaŭsa entjero; tio faras el Z(i) eŭklidan ringon, kie v(z) = N(z).

Historia fono

La ringon de gaŭsaj entjeroj prezentis Carl Friedrich Gauss en 1829 - 1831 dum kiam li studis leĝojn de reciprokeco kiuj estas ĝeneraligoj de la teoremo de kvadrata reciproko kiun li sukcesis pruvi por la unua fojo en 1796. Aparte, li serĉis rilatojn inter p kaj q tiajn, ke q estu kuba restaĵo de p (t.e. x³ = q(mod p)) aŭ tia, ke q estu dukvadrata restaĵo de p (t.e. x⁴ = q(mod p)). Dum tiu esplorado li malkovris, ke iuj rezultoj pli facile pruveblas per traktado en la ringo de gaŭsaj entjeroj, anstataŭ de ordinaraj entjeroj.

Li ellaboris la propraĵojn de faktorigado kaj pruvis la unikecon de faktorado en primojn en Z[i], kaj malgraŭ tio, ke li malmulte eldonigis, li faris iujn komentojn indikantajn, ke li konscias la gravecon de entjeroj de Eisenstein al la dirado kaj pruvado de la rezultoj pri kuba reciprokeco.

Vidu ankaŭ

• Entjero de Eisenstein
• Forkiĝado de primaj idealoj en galezaj superkampoj priskribas la strukturon de primaj idealoj en la gaŭsaj entjeroj

Eksteraj ligiloj

• https://www.alpertron.com.ar/GAUSSIAN.HTM estas ĝava apleto, kiu (komputas, pritaksas) esprimojn enhavantajn gaŭsajn entjerojn kaj faktoras ilin en gaŭsajn primojn.
• https://www.alpertron.com.ar/GAUSSPR.HTM estas ĝava apleto, kiu esprimas grafikan vidon de gaŭsaj primoj.
• Gaŭsaj entjeroj, Blogo pri la lasta teoremo de Fermat spuras la historion de lasta teoremo de Fermat de Diofanto de Aleksandrio al Andrew Wiles.
• [1] Arkivigite je 2006-06-14 per la retarkivo Wayback Machine Kompleksaj gaŭsaj entjeroj por 'gaŭsa grafiko'