Τραπέζιο

Τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με βάσεις τις $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta }$. Οι $\mathrm {A\Gamma }$ και $\mathrm {B\Delta }$ είναι διαγώνιοι του.

Το ύψος $u$ του τραπεζίου και η διάμεσος $\mathrm {M_{1}M_{2}}$.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, τραπέζιο είναι το κυρτό τετράπλευρο που έχει δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες αυτές πλευρές λέγονται βάσεις και η απόστασή τους ύψος του τραπεζίου. Τέλος το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου· πρόκειται για το τμήμα της μεσοπαράλληλης των βάσεων που αποκόπτουν οι μη παράλληλες πλευρές.

Ειδική περίπτωση τραπεζίου είναι το παραλληλόγραμμο, το ισοσκελές τραπέζιο και το ορθογώνιο τραπέζιο.

Ιδιότητες

• Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Απόδειξη  

Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.

Έστω $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ ένα τραπέζιο με βάσεις $\mathrm {AB}$, $\mathrm {\Gamma \Delta }$ και $\mathrm {A\Gamma }$ η διαγώνιος. Από το μέσο $\mathrm {M} _{1}$ της $\mathrm {A\Delta }$ φέρνουμε ευθεία $\epsilon$ παράλληλη προς την $\mathrm {\Delta \Gamma }$. Στο τρίγωνο $\mathrm {A\Delta \Gamma }$, η $\epsilon$ διέρχεται από το μέσο της πλευράς $\mathrm {A\Delta }$ και είναι παράλληλη στην πλευρά $\mathrm {\Gamma \Delta }$, άρα περνάει από το μέσο της τρίτης πλευράς $\mathrm {A\Gamma }$, ας το πούμε $\mathrm {E}$, και έτσι τα $\mathrm {M_{1}E}$, $\mathrm {\Gamma \Delta } /2$ είναι ίσα και παράλληλα. Όμοια, στο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ το $\mathrm {E}$ είναι μέσο της $\mathrm {A\Gamma }$ και η $\mathrm {EM_{2}}$ παράλληλη στην $\mathrm {AB}$, άρα το $\mathrm {M} _{2}$ θα είναι το μέσο της \mathrm{B\Gamma} και έτσι τα $\mathrm {M_{2}E}$, $\mathrm {AB} /2$ ειναι ίσα και παράλληλα. Συνεπώς η $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ θα είναι η διάμεσος του τραπεζίου και θα ισχύει

$\mathrm {M_{1}M_{2}} =\mathrm {M_{1}E} +\mathrm {EM_{2}} \parallel ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {AB} }{2}}$.

• Η διάμεσος ενός τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του και το τμήμα που αποκόπτεται από αυτές ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων.

Απόδειξη  

Η διάμεσος τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων και τους αποκόπτει τμήμα ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων.

Για τους ίδιους λόγους όπως στην προηγούμενη ιδιότητα, το $\mathrm {Z}$ είναι το μέσον της $\mathrm {B\Delta }$. Επομένως,

$\mathrm {EZ} =\mathrm {M_{1}E} -\mathrm {M_{1}Z} ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } -\mathrm {\mathrm {A} \mathrm {B} } }{2}}$.

Το $\mathrm {EZ}$ είναι παράλληλο με τις βάσεις ως τμήμα της διαμέσου του τραπεζίου.$\square$

Εμβαδόν

Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος, δηλαδή

$\mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot \mathrm {AH_{\rm {A}}} .$

Καμιά φορά γράφεται ως

$\mathrm {E} ={\frac {(B+\beta )\cdot \upsilon }{2}}$,

όπου το κεφαλαίο $B$ σηματοδοτεί την μεγάλη βάση και το μικρό $\beta$ την μικρή.

Απόδειξη  

Η διαγώνιος του $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ χωρίζει το τραπέζιο σε δύο τρίγωνα με ίσο ύψος.

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το εμβαδόν τριγώνου:

${\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}})$.

Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων $\mathrm {AB\Gamma }$ και $\mathrm {\Gamma \Delta A}$:

${\begin{aligned}\mathrm {E} &=(\mathrm {AB\Gamma } )+(\mathrm {\Gamma \Delta A} )={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AH_{\mathrm {A} }} ={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot u+{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot u\\&={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot u,\end{aligned}}$

χρησιμοποιώντας ότι $\mathrm {AH_{\mathrm {A} }} =\mathrm {\Gamma H_{\mathrm {\Gamma } }} =u$. $\square$

Από τον παρακάτω τύπο για το ύψος του τραπεζίου προκύπτει ο εξής τύπος για το εμβαδόν συναρτήσει των πλευρών:

${\frac {1}{2}}\cdot (\alpha +\gamma )\cdot {\sqrt {\beta ^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot \left((\gamma -\alpha )-{\frac {\beta ^{2}-\delta ^{2}}{\gamma -\alpha }}\right)}}.$

Το εμβαδόν του τραπεζίου επίσης ισούται με το γινόμενο της μίας μη-παράλληλης πλευράς και της απόστασης του μέσου της από την άλλη.

Μετρικές σχέσεις

• Το ύψος ενός τραπεζίου με $\alpha <\gamma$ δίνεται από τους τύπους

${\begin{aligned}u&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {(-\alpha +\beta +\gamma +\delta )\cdot (\alpha +\beta -\gamma +\delta )\cdot (-\alpha -\beta +\gamma +\delta )\cdot (-\alpha +\beta +\gamma -\delta )}}\\&={\sqrt {\beta ^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot \left((\gamma -\alpha )-{\frac {\beta ^{2}-\delta ^{2}}{\gamma -\alpha }}\right)}}.\end{aligned}}$

Απόδειξη  

Θεωρούμε την παράλληλη $\mathrm {BE}$ από το $\mathrm {B}$ στο $\mathrm {AB}$. Επομένως, $\mathrm {BE} =\delta$. Από τον τύπο του Ήρωνα στο τρίγωνο $\mathrm {EB\Gamma }$ έχουμε ότι

$u={\frac {2}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -(\gamma -\alpha ))\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\delta )}},$

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\beta +\delta +(\gamma -\alpha ))$, η ημιπερίμετρος του τριγώνου $\mathrm {EB\Gamma }$. Αναδιατάσσοντας την παραπάνω παράσταση λαμβάνουμε τους ζητούμενους τύπους.

• Οι διαγώνιες δίνονται από τους τύπους

$\mathrm {B\Delta } ^{2}={\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\alpha \beta ^{2}-\alpha \gamma ^{2}+\gamma \alpha ^{2}-\gamma \delta ^{2}}}\quad$ και $\quad \mathrm {A\Gamma } ^{2}={\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\alpha \delta ^{2}-\alpha \gamma ^{2}+\gamma \alpha ^{2}-\gamma \beta ^{2}}}.$

Απόδειξη  

Από τον νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα $\mathrm {AB\Delta }$ και $\mathrm {B\Gamma \Delta }$:

$\left.{\begin{aligned}\delta ^{2}&=\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-2\alpha \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \phi \\\beta ^{2}&=\mathrm {B\Delta } ^{2}+\gamma ^{2}-2\gamma \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \phi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow \left.{\begin{aligned}2\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \phi &={\tfrac {1}{\alpha }}\cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-\delta ^{2})\\2\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \phi &={\tfrac {1}{\gamma }}\cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-\beta ^{2})\end{aligned}}\right\}.$

Συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις και αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση.

Ανισοτικές σχέσεις

Σε ένα τραπέζιο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ με παράλληλες τις $\mathrm {AB}$ και $\mathrm {\Gamma \Delta }$, ισχύει ότι:

$|\mathrm {B\Delta } -\mathrm {A\Gamma } |<\mathrm {AB} -\mathrm {\Gamma \Delta } <\mathrm {B\Delta } +\mathrm {A\Gamma } .$

και

$|\mathrm {AB} -\mathrm {\Gamma \Delta } |<\mathrm {B\Gamma } +\mathrm {A\Delta } .$

Ειδικές περιπτώσεις

Ισοσκελές τραπέζιο με ΑΔ=ΒΓ.

Ισοσκελές τραπέζιο

Ένα τραπέζιο που έχει τις μη-παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές. Ένα ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Ειδική περίπτωση περίπτωση είναι το τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες.

Ορθογώνιο τραπέζιο με ${\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}=90^{o}$.

Ορθογώνιο τραπέζιο

Ένα τραπέζιο που έχει τις δύο του γωνίες ορθές λέγεται ορθογώνιο.

Ένα παραλληλόγραμμο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$.

Παραλληλόγραμμο

Ένα τραπέζιο που έχει όλες τις πλευρές του ανά δύο παράλληλες είναι ένα παραλληλόγραμμο. Από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου προκύπτει ότι είναι και ίσες.

Περιγεγραμμένο τραπέζιο

Ένα τραπέζιο λέγεται περιγεγραμμένο αν υπάρχει κύκλος στον οποίο και οι τέσσερις πλευρές του τραπεζίου εφάπτονται. Δεν είναι όλα τα τραπέζια περιγεγραμμένα.

Εφαρμογές

Τραπεζοειδής αποσύνθεση

Στην υπολογιστική γεωμετρία, η τραπεζοειδής αποσύνθεση χωρίζει έναν χώρο με $n$ αντικείμενα (που αναπαριστούνται από πολύγωνα), σε τραπέζια παίρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα $xx'$. Ενώνοντας τα γειτονικά τραπέζια, λαμβάνουμε έναν γράφο που μας επιτρέπει π.χ. να βρίσκουμε μονοπάτια μεταξύ δύο τοποθεσιών στον αρχικό χώρο.

Τραπεζοειδής αποσύνθεση για δύο αντικείμενα $\mathrm {A} _{1}$ και $\mathrm {A} _{2}$ μέσα σε ένα πολύγωνο.

Ο γράφος που προκύπτει από την τραπεζοειδή αποσύνθεση.

Δείτε ακόμη

• Ισοσκελές τραπέζιο
• Ορθογώνιο τραπέζιο
• Περιγεγραμμένο τραπέζιο
• Τετράπλευρο
• Παραλληλόγραμμο