Μοντέλο του Ντρουντ

Ελεύθερα ηλεκτρόνια σε μεταλλικό πλέγμα στο μοντέλο του Ντρουντ. Τα ηλεκτρόνια (μπλε) συγκρούονται ελαστικά με τα ιόντα του πλέγματος (κόκκινο). Η εφαρμογή ενός εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου προσδίδει στη συλλογή των ηλεκτρονίων μία μέση ταχύτητα αντίθετης φοράς που αντιστοιχεί σε ηλεκτρικό ρεύμα.

Στη φυσική στερεάς κατάστασης, το μοντέλο του Ντρουντ είναι ένα κλασικό μοντέλο που προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Γερμανό φυσικό Πολ Ντρουντ το 1900 με σκοπό την περιγραφή των ιδιοτήτων ηλεκτρονίων σε μέταλλα. Το μοντέλο του Ντρουντ αποτελεί μία εφαρμογή της κινητικής θεωρίας και βασίζεται στις παρακάτω παραδοχές:

• Τα ηλεκτρόνια συμπεριφέρονται ως κλασικά σωματίδια.
• Τα θετικά ιόντα του μετάλλου συμπεριφέρονται ως [σχεδόν] ακίνητες, συμπαγείς σφαίρες.
• Ορισμένα από τα ηλεκτρόνια του μετάλλου κινούνται ελεύθερα στο ιοντικό πλέγμα.
• Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, εκτός από ακαριαίες ελαστικές κρούσεις με τα ιόντα του πλέγματος.

Το μοντέλο του Ντρουντ προσφέρει επίσης ένα νόμο δύναμης που διέπει την κίνηση των ελεύθερων ηλεκτρονίων του μετάλλου στο χώρο βάσει του 2^ου νόμου του Νεύτωνα. Συγκεκριμένα,

$\mathbf {F} =-e\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }}\,$

όπου

• F η συνολική δύναμη που δρα σε κάθε ηλεκτρόνιο
• e το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο ( ≈ 1.6 × 10⁻¹⁹ C)
• E το εφαρμοσμένο ηλεκτρικό πεδίο (εφόσον αυτό υπάρχει)
• p η ορμή του ηλεκτρονίου και
• τ ο μέσος χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών κρούσεων με τα ιόντα του πλέγματος

Επιπτώσεις

Δεδομένου του παραπάνω νόμου δύναμης είναι δυνατόν να υπολογιστεί η ειδική αγωγιμότητα (σ) ενός μετάλλου. Το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως τύπος του Ντρουντ:

$\sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m}}\,$

όπου

• n η πυκνότητα ηλεκτρονίων (αριθμός ηλεκτρονίων ανά μονάδα όγκου) του μετάλλου και
• m η μάζα του ηλεκτρονίου ( ≈ 9.1 × 10⁻³¹ kg)

Ο μέσος χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών κρούσεων με τα ιόντα του πλέγματος (τ) μπορεί δε να εκτιμηθεί από τον τύπο:

$\tau ={\frac {\ell }{v}}\,$

όπου ℓ η μέση ελεύθερη διαδρομή που διασχίζει ένα ηλεκτρόνιο μεταξύ δύο διαδοχικών κρούσεων και v η μέση θερμική ταχύτητα που υπολογίζεται από τη σχέση

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}mv^{2}&={\frac {3}{2}}k_{\textrm {B}}T\\v&={\sqrt {\frac {3k_{\textrm {B}}T}{m}}}\end{aligned}}$

όπου k_B η σταθερά του Μπόλτζμαν ( ≈ 1.38 × 10⁻²³ S.I.) και Τ η απόλυτη θερμοκρασία σε βαθμούς Κέλβιν.

Πεδίο εφαρμογής

Ο τύπος του Ντρουντ για την ειδική αγωγιμότητα αποτελεί ικανοποιητική προσέγγιση της αγωγιμότητας μετάλλων σε θερμοκρασία δωματίου (Τ~300Κ). Βρίσκει επίσης εφαρμογή στη μελέτη του φαινομένου Χολ για ημιαγωγούς σε θερμοκρασία δωματίου.

Το μοντέλο του Ντρουντ μπορεί να εφαρμοσθεί και σε άλλα σωματίδια-φορείς ρεύματος όπως είναι οι οπές, αν και η ύπαρξη αυτών δεν προβλέπεται από το μοντέλο.

Σε χαμηλές θερμοκρασίες το μοντέλο του Ντρουντ αδυνατεί να εξηγήσει την δραστική αύξηση της ειδικής αγωγιμότητας των μετάλλων.

Βιβλιογραφία

Τραχανάς, Στέφανος (2008). Κβαντομηχανική ΙΙ. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. ISBN 978-960-524-267-1. 

Δείτε επίσης

• Ηλεκτρική αγωγιμότητα
• Μοντέλο ελεύθερων ηλεκτρονίων