コンパクトとは (コンパクトとは) [単語記事]

コンパクトとは、

である。3について記述する。

概要

コンパクトとは、以下の性質をいう。

Xを位相空間とする。Xの開被覆

X=∪_α∈AO_α　（O_αはXの開集合）

を任意に与えた場合、有限個のα₁, α₂,…α_m∈Aを取り出して、

X=∪^m_i=1O_αi

とすることができる。

言い換えると、ある位相空間Xを開集合O_α∈Aのあつまりで不足なく覆えたとき、O_αが非加算無限個であっても、必ずある有限個のO_mを取り出せばXを十分多い尽くすことができるという性質である。正確ではないが、Xは有限の大きさを持つ閉集合というイメージが近い。

次の捕題は位相空間がコンパクトであるための条件を与える。

Fを実数、複素数、または四元数とする。n次ベクトル空間Fⁿ、m行n列の行列の集合M(m,n,F)の有界閉集合はコンパクトである。逆に、Fⁿ,M(m,n,F)の部分集合がコンパクトであれば有界閉集合となる。
Xを距離空間とする。Xの任意の点列が収束する部分点列を持つとき、Xはコンパクトである。逆に、XがコンパクトであればXの任意の点列は収束する部分点列を持つ。