Darcy-Gesetz

Das Darcy-Gesetz (auch Darcy-Gleichung), benannt nach dem französischen Ingenieur Henry Darcy, ist eine empirisch ermittelte Gesetzmäßigkeit der Strömungsmechanik. Sie wurde 1856 im Zusammenhang mit der von Darcy konzipierten Wassergewinnungsanlage für die Stadt Dijon veröffentlicht. Lange Zeit war nicht klar, warum das Darcy-Gesetz funktioniert und woraus es herzuleiten ist. Heute weiß man, dass es sich dabei um eine spezielle Lösung der Navier-Stokes-Gleichung handelt.

Definition

Das Darcy-Gesetz besagt, dass die Wassermenge $Q$ (Durchflussrate in m³/s), die die gesamte Querschnittsfläche $A$ (Porenraum + Matrix) eines porösen Mediums (z. B. Sand) laminar durchströmt, direkt proportional ist zum hydraulischen Gradienten $i$:

${\frac {Q}{A}}=v_{\mathrm {f} }=-k_{\mathrm {f} }\cdot i$

• Der Begriff Filtergeschwindigkeit $v_{\mathrm {f} }$ ist historisch gewachsen; tatsächlich handelt es sich um einen flächenbezogenen Durchfluss (englisch specific discharge), der eben die Einheit einer Geschwindigkeit aufweist: $\mathrm {{\frac {m^{3}}{s\cdot m^{2}}}={\frac {m}{s}}} .$ Er wird auch Volumenflussdichte genannt.
• Der Proportionalitätsfaktor $k_{\mathrm {f} }$ ist der Durchlässigkeitsbeiwert.
• Das Minuszeichen bringt zum Ausdruck, dass die Strömung in Richtung fallender Standrohrspiegelhöhen erfolgt.

Die restlichen beiden Größen der Darcy-Gleichung werden in den folgenden Unterkapiteln erläutert.

Durchlässigkeitsbeiwert

Der Proportionalitätsfaktor des Darcy-Gesetzes, der Durchlässigkeitsbeiwert $k_{\mathrm {f} }$, ist ein dimensionsbehafteter Kennwert (Einheit m/s), der durch Laborversuche bestimmt werden kann (Durchlässigkeitsversuch). Er ist nicht nur von der Porengeometrie abhängig, sondern auch von der Dichte $\rho _{\mathrm {F} }$ (in kg/m³) und der dynamischen Viskosität $\eta _{\mathrm {F} }$ (in Ns/m²) des durchströmenden Fluids, z. B. Wasser bei 10 °C oder Erdöl im Boden (Petrochemie):

$k_{\mathrm {f} }=K{\frac {\rho _{\mathrm {F} }}{\eta _{\mathrm {F} }}}\,g$

Darin ist:

• $K$ die (intrinsische) Permeabilität (Einheit m²), ein vom durchströmenden Medium unabhängiger Kennwert für die Durchlässigkeit eines porösen Mediums; oft auch angegeben in der Einheit Darcy.
• $g$ die Schwerebeschleunigung

Hydraulischer Gradient

Der dimensionslose hydraulische Gradient $i$ (auch hydraulisches oder Potentialgefälle genannt) ist im Allgemeinen, wie die Filtergeschwindigkeit v_f auch, eine vektorielle Größe und somit gerichtet. Er ergibt sich aus der örtlichen Ableitung der Standrohrspiegelhöhe (Piezometerhöhe) h(x) in die einzelnen Koordinatenrichtungen x:

$i(x)=-\operatorname {grad} (h(x))=-{\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} x}}.$

In der Grundwasserhydrologie wird der hydraulische Gradient zwischen zwei Punkten B und C mit dem Abstand L voneinander entlang der Fließstrecke häufig linear angenommen:

$i={\frac {h_{B}-h_{C}}{L}}$

$\Rightarrow {\frac {Q}{A}}=-k_{\mathrm {f} }\,{\frac {h_{B}-h_{C}}{L}}\;.$

Transportgeschwindigkeit

Die Transportgeschwindigkeit von Wasserteilchen (oder vollständig gelösten Wasserinhaltsstoffen) wird durch die Abstandsgeschwindigkeit $v_{\textrm {a}}$ beschrieben, die gebildet wird als Quotient der Filtergeschwindigkeit und der effektiven Porosität $\Phi _{f}$:

$v_{\textrm {a}}={\frac {1}{\Phi _{f}}}\,v_{\textrm {f}}\;.$

Da $\Phi _{f}$ kleiner als eins ist, ist die Abstandsgeschwindigkeit und damit auch die Transportgeschwindigkeit größer als die Filtergeschwindigkeit.

Nicht-lineare Bereiche

Die von Darcy ermittelte Proportionalität von Geschwindigkeit und hydraulischem Gradienten lässt sich in Experimenten nicht immer beobachten.

Wenn beispielsweise die Geschwindigkeiten in den Poren so groß werden, dass keine laminare, sondern eine turbulente Strömung vorherrscht, erfolgt infolge erhöhter Dissipation ein stärkerer Potentialabbau, eine Auftragung zwischen Fließgeschwindigkeit und Gradient wird in diesem Bereich erkennbar nichtlinear. Um die turbulenten Effekte zu berücksichtigen, wurde die Darcy-Gleichung von Philipp Forchheimer um einen Term zur Forchheimer-Gleichung erweitert.

Ähnliche nichtlineare Effekte gibt es auch bei sehr geringen Gradienten. Dann können Oberflächenkräfte dominieren, so dass eine nichtlineare Abnahme der Filtergeschwindigkeit mit fallendem Gradienten beobachtet werden kann.

Durchströmung nicht-mischbarer Fluide

Das Darcy-Gesetz gilt streng genommen nicht, wenn sich in den Poren mehrere Fluide aufhalten und bewegen können. Wie stark der Einfluss ist, hängt von der Viskosität der beteiligten Fluide ab. Dies kann z. B. bei der Verlagerung von nicht mischbaren Flüssigkeiten (LNAPL oder DNAPL) im Grundwasser eintreten.

Bei der Versickerung von Niederschlägen im Boden kann man häufig davon ausgehen, dass die Luft hinreichend schnell entweichen kann und stets Atmosphärendruck in der Gasphase herrscht. Dieser Strömungsprozess wird häufig analog zum Darcy-Gesetz beschrieben, allerdings mit einem von der Wassersättigung abhängigen k_f-Wert (teilgesättigte Strömung).

Siehe auch

• Darcy-Weisbach-Gleichung
• Gesetz von Hagen-Poiseuille

Literatur

• Christoph Adam, Walter Gläßer, Bernward Hölting: Hydrogeologisches Wörterbuch. Enke Verlag, Stuttgart/New York 2000, ISBN 3-13-118271-7.
• Jacob Bear: Dynamics of fluids in Porous Media. Dover Publications, New York 1972, ISBN 0-444-00114-X.
• Karl-Franz Busch, Ludwig Luckner, Klaus Tiemer: Geohydraulik. (= Lehrbuch der Hydrogeologie. Band 3). 3. Auflage. Gebrüder Borntraeger, Berlin/Stuttgart 1993, ISBN 3-443-01004-0.
• W. Kinzelbach, R. Rausch: Grundwassermodellierung. Medienkombination. Bornträger, Berlin/Stuttgart 1995, ISBN 3-443-01032-6.
• R. Allan Freeze, John A. Cherry: Groundwater. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1979, ISBN 0-13-365312-9.
• Hanspeter Jordan, Hans-Jörg Weder: Hydrogeologie. Grundlagen und Methoden. Enke, Stuttgart 1995, ISBN 3-432-26882-3.
• Amin F. Zarandi, Krishna M. Pillai, Adam S. Kimmel: Spontaneous imbibition of liquids in glass-fiber wicks. Part I: Usefulness of a sharp-front approach. In: American Institute of Chemical Engineers AIChE Journal. Band 63, 2018, S. 294–305. doi:10.1002/aic.15965