Funkcija (matematika)

Za članak, koji govori o funkcijama i procedurama (podrutine) u programiranju, pogledajte članak funkcija (programiranje)

Grafik primjera funkcije,
${\begin{aligned}&\scriptstyle f\colon [-1,1.5]\to [-1,1.5]\\&\textstyle x\mapsto {\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}$

Matematički koncept funkcije izražava zavisnost između dvije veličine, jedne, koja je zadata (nezavisna varijabla ili argument funkcije), i druge, koja se dobija (zavisna varijabla ili vrijednost funkcije). Funkcija prodružuje samo jedno rješenje za svaki argument funkcije koji se uzima iz fiksnog skupa, kao što su realni brojevi.

Historija

Funkcija kao matematički termin je prvi put objavio Gottfried Wilhelm Leibniz 1694. godine kako bi opisao količinu u relaciji prema krivoj. Te funkcije danas zovemo diferencijali.

Uobičajena notacija za funkciju je f(x), koju je prvi upotrebio švicarski matematičar Leonhard Euler.

Inverzna funkcija

Glavni članak: Inverzna funkcija

Ako je ƒ funkcija od X do Y, tada je inverzna funkcija za ƒ, označenasa ƒ⁻¹, funkcija u suprotnom smijeru, od Y do X, sa osobinom da kompozicija) vraća svaki element u samog sebe. Svaka funkcija ne posjeduje svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se inverzabilne.

Kao primjer, ako je ƒ konvertuje temperaturu iz Celzijusa u Fahrenheite, funkcija koja konvertuje stepene Fahrenheita u stepene Celzijusa bi bila odgovarajuća funkcija ƒ⁻¹.

${\begin{aligned}f(C)&={\tfrac {9}{5}}C+32\\f^{-1}(F)&={\tfrac {5}{9}}(F-32)\end{aligned}}$

Ispitivanje toka funkcije

Ispitati tok funkcije $f(x)$ znači oidrediti sljedeće

Područje definicije

Za određivanje područja definicije funkcije $f(x)$ potrebno je poznavati elementarne funkcije

Parnost

Parnost funkcije $f(x)$ provjerava se pomoću definicije:

Funkcija $f(x)$ je parna ako je $f(-x)=f(x)$ za svaki $x\in {\mathcal {D}}$, a neparna ako je $f(-x)=-f(x$) za svaki $x\in {\mathcal {D}}$.

Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinantni početak $O(0,0)$.

Primjer

$\displaystyle x^{n},\qquad n\in \mathbb {N}$

je parna za $n=2k$ paran, a neparna za $n=2k+1$ neparan pa je:

$\displaystyle f(-x)=(-x)^{n}=(-1)^{n}x^{n}=(-1)^{n}f(x)$.

Funkcija $\vert x\vert$ je parna: ako je $x>0$, tada je $-x<0$ pa vrijedi

$\displaystyle \vert -x\vert =-(-x)=x=\vert x\vert$

Za $x<0$ je $-x>0$ pa vrijedi

$\displaystyle \vert -x\vert =-x=\vert x\vert$

Periodičnost

Periodičnost funkcije provjerava se pomoću definicije

Funkcija $f(x)$ je periodična ako postoji broj $P\neq 0$ takav da za svaki $x\in {\mathcal {D}}$ vrijedi

$\displaystyle f(x+P)=f(x)$

Tada mora vrijediti $x+P\in {\mathcal {D}}$. Najmanji takav pozitivni broj $P$ osnovni period ili period funkcije $f(x)$.

Primjeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Elementarna funkcija ne može biti periodićna ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

Nula funkcije

Nula funkcije određuju se rješavanjem jednačine $f(x)=0$

Asimptote funkcije

Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa i L'Hospitalovim pravilo, ako je potrebno.

Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli $(0$) kada tačka na grafiku odmiće u beskonačnost.

Prava $x=x_{0}$ je vertikalna asimptota funkcije $f(x)$u tački $x_{0}$ s lijeve strane ako je $\lim _{x\to x_{0}-0}f(x)=+\infty$ ili $\lim _{x\to x_{0}-0}f(x)=-\infty$.

Prava $x=x_{0}$ je vertikalna asimptota funkcije $f(x)$ u tacki $x_{0}$ s desne strane ako je

$\lim _{x\to x_{0}+0}f(x)=+\infty$ ili

$\lim _{x\to x_{0}+0}f(x)=-\infty$.

Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

Primjer

• 

Prava $x=0$ je vertikalna asimptota funkcije ${\frac {1}{x}}$ s obje strane.

Prava $x=0$ je vertikalna asimptota funkcija $\ln x$, $\log x$ i $\log _{2}x$ s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Prava $y=y_{0}$ je horizontalna asimptota funkcije $f(x)$ na lijevoj strani ako je $\lim _{x\to -\infty }f(x)=y_{0}$. Prava $y=y_{0}$ je horizontalna asimptota funkcije $f(x)$ na desnoj strani ako je $\lim _{x\to +\infty }f(x)=y_{0}$.

Primjer

Prava $y=0$ je horizontalna asimptota funkcije ${\frac {1}{x}}$ na obje strane, kao i $y=0$ horizontalna asimptota funkcija $2^{x}$ i $e^{x}$ na lijevoj strani.

Ako je

$\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}=k,\qquad \lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=l,$

pri čemu je

$\displaystyle k\neq 0,-\infty ,+\infty ,\qquad l\neq -\infty ,+\infty$ tada je prava $y=kx+l$ kosa asimptota funkcije $f(x)$ sa lijeve strane.

Kosu asimptotu funkcije $f(x)$ sa desne strane definišemo analogno.

Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je $d(M,L)$. Prema definiciji asimptote $d(M,L)\to 0$ kada $x\to +\infty$. Kako je $\cos \alpha \neq 0$ konstanta, zaključujemo da $\displaystyle d(M,L)\to 0\quad \Leftrightarrow \quad d(M,N)\to 0\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{x\to +\infty }\vert f(x)-(kx+l)\vert =0$.

Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa

$\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx-l)=0$ je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.

Gornja jednakost je ekvivalentna sa

$\lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=l$.

$\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)-kx-l}{x}}=0$ pa je

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=k$.

Pri tome treba voditi računa o sljedećem:

1. kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kada $x\to -\infty$ i kada
2. asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosljedu, $x\to +\infty$ uvijek treba računati posebno
3. treba biti oprezan u slučaju parnih korjena kada $x\to -\infty$,

Primjer

$\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {\sqrt {x^{2}}}{x}}=-\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x^{2}}}{x}}=-1$.

Ekstremi funkcije

Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je provjeriti nžzne i dovoljne uslove ekstrema.

Provjera nužnih uslova vrši se po teoremi

Neka je funkcija $f(x)$ neprekidna u tački $c$. Ako funkcija $f(x)$ ima lokalni ekstrem u tački $c$, tada je $c$ kritična tačka funkcije $f(x)$.

Potrebno je nači stacionarne i kritične tačke po definiciji

Neka je funkcija $f(x)$ neprekidna u tački $c$. Tačka $c$ je stacionarna tačka funkcije $f(x)$ ako je $f'(c)=0$. Tačka $c$ je kritična tačka funkcije $f(x)$ ako je $c$ stacionarna tačka ili ako $f(x)$ nije diferencijabilna u tački $c$.

Tj. potrebno je odrediti područje definicije prvog izvoda $f'(x)$ i riješiti jednačinu $f'(x)=0$. Provjera dovoljnih uslova može se vršiti na tri nacina:

pomoću promjene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme

Ako prvi izvod $f'(x)$ mijenja predznak u kritičnoj tački $c$, tada funkcija $f(x)$ ima lokalni ekstrem u tački $c$. Pri tome vrijedi sljedeće

ako $f'(x)$ mijenja predznak sa $-$ na $+$, tada je $f(c)$ lokalni minimum, a ako $f'(x)$ mijenja predznak sa $+$ na $-$, tada je $f(c)$ lokalni maksimum.

pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme

Neka je u stacionarnoj tački $c$ funkcija $f(x)$ dva puta diferencijabilna. Ako je $f''(c)\neq 0$, tada funkcija $fx)$ ima lokalni ekstrem u tacki $c$. Pri tome vrijedi sljedeće

ako je $f''(c)>0$, tada je $f(c)$ lokalni minimum, a ako je $f''(c)<0$, tada je $f(c)$ lokalni maksimum.

pomoću viših izvoda na osnovu teoreme

Neka funkcija $f(x)$ ima u nekoj $\varepsilon$ -okolini tačke c neprekidnog izvoda do uključivo reda $n$, pri čemu je $n\geq 3$.

Neka je $\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots =f^{(n-1)}(c)=0,\qquad f^{(n)}(c)\neq 0.$

Ako je $n$ neparan, tada funkcija $f(x)$ ima infleksiju u tački $c$. Ako je $n$ paran i ako je uz to još i $f'(c)=0$, tada funkcija $f(x)$ ima lokalni ekstrem u tački $c$ i to minimum za $f^{(n)}(c)>0$ i maksimum za $f^{(n)}(c)<0$.

Intervali monotonosti

Posto smo načli prvi izvod $f'(x)$ funkcije $f(x)$ intervale monotonosti određujemo određujuci predznak od $f'(x)$ na osnovu teoreme

Neka je funkcija $f(x)$ diferencijabilna na intervalu $(a,b)$. Tada vrijedi

1. funkcija $f(x)$ je rastuća na intervalu $(a,b)$ ako i samo ako je $f'(x)\geq 0$ za svaki $x\in (a,b)$
2. Funkcija $f(x)$ je opadajuća na intervalu $(a,b)$ ako i samo ako je $f'(x)\leq 0$ za svaki $x\in (a,b)$
3. Ako je $f'(x)>0$ za svaki $x\in (a,b)$, tada je funkcija $f(x)$ strogo rastuća na intervalu $(a,b$
4. Ako je $f'(x)<0$ za svaki $x\in (a,b)$, tada je funkcija $f(x)$ strogo opadajuća na intervalu $(a,b)$.

Konkavnost i konveksnost funkcije

Potrebno je odrediti drugi izvod $f''(x)$,a onda intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme

Neka je funkcija $f(x)$ dva puta deiferencijabilna na intervalu $(a,b)$. Ako je $f''(x)>0$ za svaki $x\in (a,b)$, tada je funkcija $f(x)$ strogo konveksna na intervalu $(a,b)$. Ako je $f''(x)<0$ za svaki $x\in (a,b)$, tada je funkcija $f(x)$ strogo konkavna na intervalu $(a,b)$.

Tačke infleksije

Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvod $f''(x)\$$ mijenja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi

Neka je funkcija dva puta deferencijabilna na nekoj $\varepsilon$ -okolini tačke $c$, osim možda u tački $c$. Ako $f''(x)$ mijenja predznak u tački $c$, tada funkcija $f(x)$ ima infleksiju u tački $c$.

Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme

Neka funkcija $f(x)$ ima u nekoj $\varepsilon$ - okolini tačke $c$ neprekidne izvode do uključivo reda $n$, pri čemu je $n\geq 3$. Neka je

$\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots =f^{(n-1)}(c)=0,\qquad f^{(n)}(c)\neq 0.$

Ako je $n$ neparan, tada funkcija $f(x)$ ima infleksiju u tački $c$.

Ako je $n$ paran i ako je uz to još i $f'(c)=0$, tada funkcija $f(x)$ ima lokalni ekstrem u tacki $c$ i to minimum za $f^{(n)}(c)>0$ i maksimum za $f^{(n)}(c)<0$.

U tom slučaju potrebno je prvo naci tačke u kojima je drugi izvod $f''(x)$ jednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi

Ako funkcija $f(x)$ ima infleksiju u tački $c$ i ako $f''(c)$ postoji, tada je $f''(c)=0$.

Graf funkcije

Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.

Ostale osobine

Postoji mnogo posebnih klasa funkcija koje su važne za pojedinačne grane matematike, ili za pojedinačne primjene.

Ovo je djelimičan spisak takvih funkcija:

• bijekcija, injekcija i surjekcija, ili pojedinačno:
  • injektivna, surjektivna i bijektivna funkcija
• neprekidna
• diferencijabilna funkcija, integrabilna
• linearna, polinomi, racionalna
• algebarska, transcendentalna
• trigonometrijska
• fraktal
• parna ili neparna
• konveksna, monotona, jednomodalna
• holomorfska, meromorfska, cijela
• vektorska
• izračunljive
• funkcija cijelog dijela
• funkcija realne varijable

Također pogledajte

• Spisak matematičkih funkcija
• Funkcionalni predikat
• Kompozicija funkcija
• Funkcional
• Funkcionalna dekompozicija
• Implicitna funkcija
• Parametarska jednačina
• Plateau
• Proporcionalnost
• Steinerov problem

Reference

Reference

• Anton, Howard (1980), Calculus with Analytical Geometry, Wiley, ISBN 978-0-471-03248-9
• Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis (2nd izd.), Wiley, ISBN 978-0-471-05464-1
• Hardy, Godfrey Harold (1908), A Course of Pure Mathematics, Cambridge University Press (objavljeno 1993), ISBN 978-0-521-09227-2
• Husch, Lawrence S. (2001), Visual Calculus, Univerzitet u Tennesseeu, arhivirano s originala, 24. 9. 2011, pristupljeno 27. 9. 2007
• da Ponte, João Pedro (1992), "The history of the concept of function and some educational implications", The Mathematics Educator, 3 (2): 3–8, ISSN 1062-9017, arhivirano s originala, 7. 9. 2008, pristupljeno 3. 11. 2008
• Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1995), Calculus and Analytic Geometry (9th izd.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53174-9
• Youschkevitch, A. P. (1976), "The concept of function up to the middle of the 19th century", Archive for History of Exact Sciences, 16 (1): 37–85, doi:10.1007/BF00348305.
• Monna, A. F. (1972), "The concept of function in the 19th and 20th centuries, in particular with regard to the discussions between Baire, Borel and Lebesgue", Archive for History of Exact Sciences, 9 (1): 57–84, doi:10.1007/BF00348540.
• Kleiner, Israel (1989), "Evolution of the Function Concept: A Brief Survey", The College Mathematics Journal, 20 (4): 282–300, doi:10.2307/2686848.
• Ruthing, D. (1984), "Some definitions of the concept of function from Bernoulli, Joh. to Bourbaki, N.", Mathematical Intelligencer, 6 (4): 72–77.
• Dubinsky, Ed; Harel, Guershon (1992), The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy, Mathematical Association of America, ISBN 0883850818.
• Malik, M. A. (1980), "Historical and pedagogical aspects of the definition of function", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 11 (4): 489–492, doi:10.1080/0020739800110404.
• Ispitivanje toka funkcije

Vanjski linkovi

• The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
• Shodor: Function Flyer, interactive Java applet for graphing and exploring functions.
• xFunctions, a Java applet for exploring functions graphically.
• Draw Function Graphs, online drawing program for mathematical functions.
• Functions from cut-the-knot.
• Function at ProvenMath.
• Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool

Nedovršeni članak Funkcija (matematika) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.