Movimientu brownianu

Esta ye una simulación del movimientu browniano de 5 partícules (marielles) que topeten con un gran conxuntu de 800 partícules. Les partícules marielles dexen 5 rastros azules de movimientu aleatoriu y unu d'ellos tien un vector de velocidá coloráu

El movimientu browniano ye'l movimientu aleatoriu que se repara nes partícules que se topen nun mediu fluyíu (líquidu o gas), como resultáu de choques contra les molécules de dichu fluyíu.^[1]

Esti fenómenu de tresporte recibe'l so nome n'honor al escocés Robert Brown, biólogu y botánicu. En 1827, mientres miraba al traviés d'un microscopiu a les partícules atrapaes nos cuévanos dientro d'un granu de polen na agua, señaló que les partícules movíense al traviés del líquidu; pero nun foi capaz de determinar los mecanismos que provocaron esti movimientu. Los átomos y les molécules fueren teorizadas como componentes de la materia, y Albert Einstein publicó un artículu en 1905, consideráu por él como'l Annus Mirabilis ("añu maraviyosu", en llatín) onde esplicó con tou detalle cómo'l movimientu que Brown reparara yera la resultancia del polen siendo movíu por molécules d'agua individual. Esta esplicación sirvió como prueba convincente de qu'esisten los átomos y molécules, y foi verificáu esperimentalmente por Jean Perrin en 1908. Perrin foi gallardoniáu col Premiu Nobel de Física en 1926 pol so trabayu sobre la estructura discontinua de la materia (Einstein recibiera'l premiu cinco años antes polos sos servicios a la física teórica con especial mención al efeutu fotoeléctricu). La direición de la fuercia de bombardéu atómicu ta camudando constantemente, y en distintos momentos, la partícula ye cutida más nun llau que n'otru, lo que lleva a la naturaleza aleatoria del movimientu.

El movimientu browniano atopar ente los procesos estocásticos más simples, y ye allegáu a otros dos procesos estocásticos más simples y complexos: el camín aleatoriu y el teorema de Donsker. Esta universalidá ta estrechamente rellacionada cola universalidá de la distribución normal. En dambos casos, de cutiu ye la conveniencia matemática, más qu'exactitú de los modelos, lo que lleva al usu de la distribución normal.

Tanto la espardimientu como la ósmosis basar nel movimientu browniano.

Historia

Reproducíu del llibru de Jean Baptiste Perrin, *Les Atomes*, trés rastros del movimientu de partícules coloidales de radiu 0.53 µm como se ve nel microscopiu, amuésense. Les posiciones socesives cada 30 segundos xunir por aciu segmentos de llinia recta (el tamañu de la malla ye de 3,2 µm).^[2]

El poema científicu Sobre la Naturaleza de les coses, del romanu Lucrecio (60 e. C.), inclúi la notable descripción d'un movimientu browniano de partícules de polvu dende los versos 113 hasta'l 140. L'autor presentó esti fechu como prueba de la esistencia de los átomos:

Repara lo que socede cuando rayaes son almitíos dientro d'un edificiu y cómo refundia la lluz sobre los llugares escuros. Puedes ver l'ensame de pequeñes partícules moviéndose nuna tremera de caminos... el so baille ye un niciu de movimientos subxacentes de materia escondíos de la nuesa vista... eso anicia'l movimientu de los átomos en sí mesmos (p.e., bonalmente). Entós los pequeños organismos que son esaniciaos del impulsu de los átomos son puestos en marcha por golpes invisibles y de la mesma en contra d'unos diminutos cañones. Asina, el movimientu de los átomos remanez gradualmente d'un nivel del sentíu, qu'estos cuerpos tán en movimientu como vemos na rayada, movíos por soplíos que paecen invisibles.

Sobre la naturaleza de les coses, Lucrecio

Anque'l movimientu d'amiestu de partícules de polvu ye causáu principalmente poles corrientes d'aire, el rellumu y el traxín de les partícules ye, verdaderamente, productu de la dinámica browniana

Jan Ingenhousz describió'l movimientu irregular de partícules de carbón pulverizaes na superficie del alcohol en 1785. Sicasí, el descubrimientu del movimientu browniano atribúyese tradicionalmente al botánicu Robert Brown en 1827. Créese que Brown tuvo estudiando al microscopiu partícules de polen de la planta Clarkia pulchella llexando na agua. Dientro de les vacuoles de los granos de polen reparó diminutes partícules con movimientos nerviosos. Al repitir l'esperimentu con partícules de polvu, concluyó que'l movimientu nun se debía a que les partícules de polen tuvieren "vives", anque nun esplicó l'orixe del movimientu.

El primeru en describir matemáticamente el movimientu browniano foi Thorvald N. Thiele en 1880, nun documentu sobre'l métodu de los mínimos cuadraos. Foi siguíu independientemente por Louis Bachelier en 1900, na so tesis doctoral La teoría de la especulación, na que se presenta un analís estocástico d'aición y opción de mercaos. El modelu del movimientu browniano de les aiciones de mercáu ye citáu frecuentemente, pero Benoit Mandelbrot refugó la so aplicación al movimientu de los precios de les aiciones, en parte porque son discontinuos.^[3]

Sicasí, foi l'estudiu independiente d'Albert Einstein nel so artículu de 1905 (Über die von der molekularischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen / Sobre'l movimientu postuláu pola teoría cinética molecular del calor de pequeñes partícules suspendíes nun líquidu estacionario) nel qu'amosó la solución a los físicos, como una forma indireuta de confirmar la esistencia d'átomos y molécules.

Nesa dómina la naturaleza atómica de la materia entá yera una idea revesosa. Einstein y Marian Smoluchowski deducieron que, si la teoría cinética de los fluyíos yera correuta, entós les molécules d'agua tendríen movimientos aleatorios. Poro, les partícules pequeñes podríen recibir un númberu aleatoriu d'impactos, de fuercia aleatorio y de direiciones aleatories, en curtios periodos de tiempu. Esti bombardéu aleatoriu poles molécules del fluyíu podría ser abondu por que les partícules pequeñes mover de la manera exacta que Brown describiera. Theodor Svedberg fixo importantes demostraciones del movimientu browniano en coloides, según Felix Ehrenhaft facer con partícules de plata na atmósfera terrestre. Jean Perrin tamién realizó esperimentos pa verificar los modelos matemáticos, y al publicar les sos resultancies finales púnxose fin a dos mil años de disputa sobre la realidá de les molécules y los átomos.

Teoría d'Einstein

Hai dos partes na teoría d'Einstein: la primer parte consiste na formulación d'una ecuación d'espardimientu de partícules brownianas, nel que'l coeficiente d'espardimientu ta rellacionada col desplazamientu cuadrático mediu d'una partícula browniana, ente que la segunda parte rellaciona'l coeficiente d'espardimientu de les magnitúes físiques medibles.^[4] D'esta manera Einstein foi capaz de determinar el tamañu de los átomos, y el númberu d'átomos qu'hai nun mol, o'l pesu molecular (en gramos), d'un gas.^[5] Acordies cola llei de Avogadro, esti volume ye'l mesmu pa tolos gases ideales, que ye 22,414 llitros a temperatura y presión estándar. El númberu d'átomos conteníos nesti volume conozse como númberu de Avogadro, y la determinación d'esti númberu ye equivalente a la conocencia de la masa d'un átomu, yá que esta postrera llógrase estremando la masa d'un mol de gas pol númberu de Avogadro.

La primer parte del razonamientu d'Einstein foi determinar cuántu viaxa una partícula browniana nun intervalu de tiempu dau. Una partícula browniana sufre del orde de 10¹⁴ choques per segundu.^[6] Esto llevó a considerar a Einstein el movimientu coleutivu de les partícules brownianas.

Consideró la medría na coordenada x de la partícula como una variable aleatoria (x ó $\Delta$ , en virtú del tresformamientu de coordenaes que lleva l'orixe a la posición inicial de la partícula), con función de densidá de probabilidá $\phi (\Delta )$ . Amás, suponiendo caltenimientu del númberu de partícules, desenvolvió la densidá (númberu de partícules per unidá de volume) en serie de Taylor:

{\begin{aligned}\rho (x,t+\tau )&=\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\dots \\&=\int _{-\infty }^{+\infty }\rho (x+\Delta ,t)\cdot \phi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&=\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\phi (\Delta )\,d\Delta +{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\Delta \cdot \phi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \phi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\dots \\\end{aligned}}

Na última espresión la primer integral ye 1 pola normalización de la probabilidá y la segunda integral (y toles de la mesma forma nes que $\Delta$ tea alzada a un esponente impar) anular pola simetría de $\phi (\Delta )$ . Queda entós

{\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\dots &=\rho (x,t)\cdot 1+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \phi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\dots \\\end{aligned}}

De la comparanza de términos llógrase la siguiente rellación:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \phi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\mathrm {momentos\;pares\;de\;orde\;mayor\;que\;dos} .

Puede demostrase que cuando $\Delta$ y $\tau$ tienden a 0 el cociente $\Delta ^{2}/\tau$ qu'hai na postrera integral tiende a una llende, lo que dexa definir el coeficiente d'espardimientu D :

D=\lim _{\Delta ,\tau \rightarrow 0}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \phi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta .

La densidá $\rho (x,t)$ de les partícules brownianas satisfai la ecuación d'espardimientu:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}.

Suponiendo que N partícules empiecen dende l'orixe nel tiempu inicial t = 0, la ecuación d'espardimientu tien la solución

\rho (x,t)={\frac {N}{\sqrt {4\pi Dt}}}y^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}},

que ye una distribución normal de media $\mu =0$ y varianza $\sigma ^{2}=2Dt$ . La varianza ye'l desplazamientu cuadrático mediu, $\sigma ^{2}={\overline {x^{2}}}=2\,D\,t$ . Al tomar el so raigañu cuadráu se oberva que'l desplazamientu d'una partícula browniana nun ye proporcional al tiempu trescurríu, sinón al raigañu cuadráu del tiempu.^[7] Al faer esti tipu d'afirmaciones sobre una partícula a partir del comportamientu d'una coleutividá de partícules ta faciéndose un pequeñu saltu conceptual que puede xustificase.^[8]

La segunda parte de la teoría d'Einstein referir a la constante d'espardimientu en cantidaes físicamente medibles, tales como la media al cuadráu de desplazamientu d'una partícula nun intervalu de tiempu dau. Esta resultancia dexa la determinación esperimental del númberu de Avogadro y polo tanto'l tamañu de les molécules. Einstein analizó un equilibriu dinámicu que s'establez ente fuercies opuestes. La guapura del so argumentu ye que la resultancia final nun depende de que les fuercies tán arreyaes nel establecimientu del equilibriu dinámicu.

Nel so tratamientu orixinal, Einstein consideraba un esperimentu de presión osmótica, pero a la mesma conclusión puede llegase d'otra manera.

Consideremos, por casu, partícules en suspensión nun fluyíu mafosu nun campu gravitatorio. La gravedá tiende a faer que les partícules deposítense, ente que l'espardimientu actúa pa homogeneizarlos, conduciéndolos a rexones de menor concentración. So l'aición de la gravedá, una partícula adquier una velocidá descendente de v = μmg , onde M ye la masa de la partícula, g ye l'aceleración debida a la gravedá y μ ye la movilidá de la partícula nel fluyíu. George Stokes demostrara que la movilidá d'una partícula esférica con radiu R ye $\mu ={\tfrac {1}{6\pi \eta r}}$ , onde η ye la mafa dinámica del fluyíu. Nun estáu d'equilibriu dinámicu, les partícules distribúyense d'alcuerdu a la distribución barométrica

\rho =\rho _{0}y^{-{\frac {mgh}{k_{B}T}}},

Onde ρ-ρ₀ ye la diferencia na densidá de les partícules separaes por un desnivel de h , k_B ye la constante de Boltzmann (esto ye, la rellación de la constante universal de los gases , R, col númberu de Avogadro, N ), y T ye la temperatura absoluto. Ye'l númberu de Avogadro lo que se va a determinar.

Establezse l'equilibriu dinámicu, porque cuanto más se tiren escontra baxo les partícules pola gravedá, mayor ye l'enclín a que les partícules migren a rexones de menor concentración. El fluxu ta dada poles lleis de Fick,

J=-D{\frac {d\rho }{dh}},

onde J = ρv. Aplicando la fórmula pa ρ, atopamos que

v={\frac {Dmg}{k_{B}T}}.

Nun estáu d'equilibriu dinámicu, esta velocidá tien de ser tamién igual a v = μmg . Nótese que dambes espresiones pa V son proporcionales a mg , reflexando cómo la derivación ye independiente del tipu de fuercies consideraes. Igualando estos dos espresiones derívase esta espresión pa la difusividad:

{\frac {\overline {x^{2}}}{2t}}=D=\mu k_{B}T={\frac {\mu RT}{N}}={\frac {RT}{6\pi \eta rN}}.

Equí la primer igualdá esprender de la primer parte de la teoría d'Einstein, la tercera la igualdá esprender de la definición de la constante de Boltzmann como k_B = R / N , y la cuarta igualdá deducir de la fórmula de Stokes pa la movilidá. Midiendo'l cuadráu mediu del desplazamientu mientres un intervalu de tiempu, xunto cola constante universal de gas R , la temperatura T , la mafa η, y el radiu de la partícula r , el númberu de Avogadro N puede ser determináu.

El tipu d'equilibriu dinámicu propuestu por Einstein nun yera nuevu. Señalárase primeramente por J. J. Thomson^[9] na so serie de conferencies na Universidá de Yale en mayu de 1903 cuando l'equilibriu dinámicu ente la velocidá xenerada por un gradiente de concentración dau pola llei de Fick y la velocidá por cuenta de la variación de la presión parcial causaos cuando los iones poner en movimientu danos un métodu de determinación de la constante de Avogadro que ye independiente de cualquier hipótesis tocantes a la forma o tamañu de les molécules, o de la forma na qu'actúen unu sobre l'otru.^[9]

Una espresión idéntica a la fórmula d'Einstein pal coeficiente d'espardimientu tamién foi atopada por Walther Nernst en 1888^[10] na qu'espresó'l coeficiente d'espardimientu como la rellación de la presión osmótica a la rellación de la fuercia de resfregón y la velocidá a la que da llugar. El primeru oldear a la llei de Van't Hoff, ente que'l postreru foi dau pola llei de Stokes. Él escribe $k'=p_{0}/k$ pal coeficiente d'espardimientu k´, onde $p_{0}$ ye la presión osmótica y k ye la rellación de la fuercia de resfregón cola mafa molecular qu'asume que ta dada pola fórmula de Stokes pa la mafa. Presentando la llei del gas ideal por unidá de volume de la presión osmótica, la fórmula vuélvese idéntica a la d'Einstein.^[11] L'usu de la llei de Stokes nel casu de Nernst, según en Einstein y Smoluchowski, nun ye puramente aplicable yá que nun s'aplica al casu en que'l radiu de la esfera ye menor en comparanza col percorríu llibre mediu.^[12]

Nun primer momentu les predicciones de la fórmula d'Einstein fueron aparentemente refutadas por una serie d'esperimentos por Svedberg ente 1906 y 1907, lo que provocó'l reemplazu del valor predichu de les partícules de 4 a 6 vegaes, y por Henri en 1908 qu'atopó cambeos 3 vegaes mayor que la fórmula que Einstein predixo.^[13] pero les predicciones d'Einstein finalmente fueron confirmaes gracies a una serie d'esperimentos llevaos a cabu por Chaudesaigues en 1908 y Perrin en 1909. La confirmación de la teoría d'Einstein constituyó un progresu empíricu a la teoría cinética del calor. N'esencia, Einstein demostró que'l movimientu puede predicise direutamente dende'l modelu cinéticu d'equilibriu térmicu. La importancia de la teoría anicia nel fechu de que se confirmó'l rellatu de la teoría cinética de la segunda llei de la termodinámica, siendo esencialmente una llei estadística.^[14]

Metáfora intuitiva del movimientu browniano

Modelu del movimientu browniano de la trayeutoria d'una partícula de color na agua.

Considere un gran balón de 10 metros de diámetru. Imaxine esti balón nun estadiu de fútbol o cualesquier otra área llena de xente. El balón ye tan grande que permanez percima del ensame. Les persones cuten el balón en distintos momentos y direiciones de manera dafechu aleatoria. Agora, considere una fuercia exercida mientres ciertu tiempu; podemos imaxinar 20 persones emburriando pa la derecha y 21 pa la izquierda y que cada persona ta exerciendo cantidaes de fuercia equivalente. Nesti casu les fuercies exercíes nel llau esquierdu y nel llau derechu nun tán permediaes, favoreciendo al llau esquierdu, polo que'l balón va movese llixeramente escontra la esquierda. Esta desproporción siempres esiste, y ye lo que causa'l movimientu aleatoriu. Si reparáramos la situación dende enriba, de cuenta que nun pudiéramos ver a les persones, veríamos el gran balón como un oxetu animáu por movimientos erráticos.

Agora volvamos a la partícula de polen de Brown nadando aleatoriamente na agua. Una molécula d'agua mide aproximao de 01 a 0.2 nm, ente que la partícula de polen que Brown reparó yera d'un orde de micrometros (esto nun tien de ser confundíu cola partícula actual de polen la cual mide en redol a 100 micrometros). Con éses la partícula de polen puede ser considerada como un gran balón emburriáu constantemente poles molécules d'agua (l'ensame). El movimientu browniano de les partícules nun líquidu deber al desequilibriu instantáneu nes fuercies exercíes poles pequeñu molécules líquides qu'arrodien la partícula (les cualos tán nun movimientu térmicu aleatoriu).

Teoría

Modelu de Smoluchowski

La teoría del movimientu browniano de Smoluchowski^[15] empieza a partir de la mesma premisa que la d'Einstein y deriva la mesma distribución de probabilidá ρ(x, t) pal desplazamientu d'una partícula browniana lo llargo de x nun tiempu t. Poro, llogra la mesma espresión pa la media al cuadráu: ${\overline {(\Delta x)^{2}}}$ . Sicasí, cuando la rellaciona con una partícula de masa m que se mueve a una velocidá o, que ye resultáu d'una fuercia de resfregón gobernáu pola llei de Stokes, atopa : ${\overline {(\Delta x)^{2}}}=2Dt=t{\frac {32}{81}}{\frac {\mu ^{2}}{\pi \mu a}}=t{\frac {64}{27}}{\frac {{\frac {1}{2}}\mu ^{2}}{3\pi \mu a}},$

onde μ ye'l coeficiente de mafa, y a ye'l radiu de la partícula. L'asociación de la enerxía cinética $\mu ^{2}/2$ cola enerxía térmica RT/N, la espresión pal desplazamientu mediu al cuadráu ye 64/27 vegaes mayor que la dada por Einstein. La fraición 27/64 foi comentada por Arnold Sommerfeld na necroloxía de Smoluchowski: "El coeficiente numbéricu d'Einstein, que s'estrema de Smoluchowski por 27/64 namái puede ser puestu en dulda."^[16]

Smoluchowski^[17] intenta responder a la entruga de por qué una partícula browniana ten de ser movida polos bombardeos de partícules más pequeñes cuando les probabilidaes de cutir palantre o escontra tras son iguales. Col fin de faelo, utiliza, ensin sabelo, el teorema de votación, demostráu per primer vegada por William Allen Whitworth en 1878.^[18] El teorema de la votación establez que si un candidatu A puntúa m votos y el candidatu B puntúa n-M la probabilidá a lo llargo del recuentu de qu'A tenga más votos que B ye

{\frac {[m-(n-m)]}{[m+n-m]}}={\frac {2m-n}{n}},

nun importa qué grande pueda ser el númberu total de votos n. N'otres pallabres, si un candidatu tien una ventaya sobre l'otru candidatu, va tender a caltener esa ventaya a pesar de que nun haya nada a favor de nengún candidatu nuna votación.

Si la probabilidá de 'm' 'ganancies' y n - M perdes sigue un distribución binomial,

P_{m,n}={\binom {n}{m}}2^{-n},

coles mesmes probabilidaes de 1/2, a priori, la ganancia media total ye

{\overline {2m-n}}=\sum _{m={\frac {n}{2}}}^{n}(2m-n)P_{m,n}={\frac {nn!}{2^{n}\left[\left({\frac {n}{2}}\right)!\right]^{2}}}.

Si n ye lo suficientemente grande por que el aproximamientu de Stirling pueda ser utilizada de la forma : $n!\approx \left({\frac {n}{y}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}},$ .

entós la ganancia total que se preve va ser

{\overline {2m-n}}\approx {\sqrt {\frac {2n}{\pi }}},

amosando qu'aumenta como'l raigañu cuadráu de la población total.

Supongamos qu'una partícula browniana de masa M ta arrodiada de partícules más llixeres de masa m, que viaxen a una velocidá o. De siguío, razona Smoluchowski, en cualquier choque ente partícules qu'arrodien a les brownianas y estes, la velocidá de tresmisión d'esti postreru va ser mu/M. Esta rellación ye del orde de 10⁻⁷ cm/s. Pero tamién tenemos que tener en cuenta que nun gas va haber más de 10¹⁶ choques per segundu, y entá más nun líquidu, onde s'envaloren 10²⁰ choques per segundu. Dalgunes d'estos choques van tender a acelerar la partícula browniana; otres a desacelerarla. Si hai un escesu mediu d'un tipu de choque o otru que sía del orde de 10⁸ a 10¹⁰ choques per segundu, entós la velocidá de la partícula browniana pue tar en cualquier llugar ente 10 y 1000 cm/s. Poro, a pesar de qu'esisten probabilidaes iguales de que se favoreza'l movimientu palantre y escontra tras, va haber un enclín netu nos choques pa caltener la partícula en movimientu browniano, al igual que prediz el teorema de la votación.

Estos órdenes de magnitú nun son exactos porque nun tienen en cuenta la velocidá de la partícula browniana, O , que depende de los choques que tienden a acelerar y desacelerar la mesma. Cuanto mayor sía O, mayores van ser los choques que van retardar la partícula, de manera que la velocidá d'una partícula browniana nunca puede aumentar ensin una llende. Podría asoceder un procesu d'esti tipu, que sería equivalente a un movimientu perpetuu del segundu tipu. Y yá que la equipartición de la enerxía aplícase, la enerxía cinética de la partícula browniana, $MU^{2}/2$ , va ser igual, en permediu, a la enerxía cinética del fluyíu qu'arrodia a la partícula, $mu^{2}/2$ ..

En 1906, Smoluchowski publicó un modelu unidimensional pa describir una partícula sometida al movimientu browniano.^[19] El modelu asume choques con M ≫ m onde M ye la masa de la partícula de prueba y m la masa d'una de les partícules individuales que componen el fluyíu. Supónse que los choques de partícules llindar a una dimensión y que ye igualmente probable que la partícula pueda ser cutida dende la izquierda como dende la derecha. Supónse tamién que cada choque siempres imparte la mesma magnitú de ΔV . Si N_R ye'l númberu de choques pela derecha, y N_L pela esquierda, entós dempués de N choques, la velocidá de la partícula camudaría por ΔV(2N_R−N). La multiplicidá ta dada, entós, por:

{\binom {N}{N_{R}}}={\frac {N!}{N_{R}!(N-N_{R})!}}

y el númberu total d'estaos posibles ta dau por 2^N. Poro, la probabilidá de qu'una partícula sía cutida pela derecha N_R vegaes ye

P_{N}(N_{R})={\frac {N!}{2^{N}N_{R}!(N-N_{R})!}}

Como resultáu de la so simplicidá, el modelu unidimensional de Smoluchowski puede describir solamente cualitativamente el movimientu browniano. Pa una partícula real sometida al movimientu browniano nun fluyíu, munchos de los supuestos non pueden faese. Por casu, el supuestu de qu'en permediu se produz un númberu igual de choques dende la derecha como dende la izquierda se desmorona una vegada que la partícula ta en movimientu. Amás, habría una distribución de posibles ΔV distintos en llugar de namái unu nuna situación real.

Modeláu con ecuaciones diferenciales

Les ecuaciones que rixen el movimientu browniano rellacionen de forma llixeramente distinta a caúna de los dos definiciones de movimientu browniano indicaes de primeres d'esti artículu.

Matemátiques

Un exemplu animáu del movimientu browniano asociáu al camín aleatoriu nun toru. Na esguilada llende, el camín aleatoriu averar al procesu de Wiener según el teorema de Donkster.

En matemátiques, el movimientu browniano ye descritu pol procesu de Wiener; un procesu estocástico de tiempu continuu nomáu n'honor a Norbert Wiener. Ye unu de los procesos más conocíos de Lévy (procesos estocásticos càdlàg con medríes independientes estacionarios) y asocede con frecuencia en matemátiques pures y aplicaes, la economía y la física.

El procesu de Wiener W_t ta carauterizáu por cuatro fechos:

W₀ = 0
W_t ye casi seguro continuu.
W_t tien una medría independiente.
$W_{t}-W_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)$ (pa $0\leq s\leq t$ ).

${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ denota la distribución normal col valor esperáu μ y la varianza σ². Que la condición tenga medríes independientes significa que si $0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}$ entós $W_{t_{1}}-W_{s_{1}}$ y $W_{t_{2}}-W_{s_{2}}$ son valores independientes aleatorios.

Una carauterización alternativa del procesu de Wiener ye la llamada carauterización de Lévy, qu'indica que ye casi seguro que'l procesu de Wiener tea un una martingala continua con W₀ = 0 y variación cuadrática $[W_{t},W_{t}]=t$ .

Una tercer carauterización ye que'l procesu de Wiener tien una representación espectral como una serie de senos que los sos coeficientes son valores aleatorios ${\mathcal {N}}(0,1)$ independientes. Esta representación puede llograse usando'l teorema de Karhunen-Loève.

El procesu de Wiener puede ser construyíu como la esguilada llende del camín aleatoriu, o d'otros procesos estocásticos en tiempu discretu con medríes independientes estacionarios. Esto conozse como'l teorema de Donsker. Al igual que'l camín aleatoriu, el procesu de Wiener ye recurrente nuna o dos dimensiones (lo que significa que se vuelve casi con seguridá a cualesquier redolada fixu del orixe infinites vegaes) ente que nun ye recurrente na tercer dimensión nin en mayores. A diferencia del camín aleatoriu, ye una escala invariante.

La evolución temporal de la posición de la partícula browniana en sí puede describise aproximao pola ecuación de Langevin, una ecuación qu'implica un campu de fuercia aleatorio que representa l'efeutu de les fluctuaciones térmiques del disolvente sobre la partícula browniana. N'escales de tiempu llargues, el movimientu browniano matemáticu ta bien descritu por una ecuación de Langevin. En pequeñes escales de tiempu, los efeutos de la inercia son frecuentes na ecuación de Langevin. Sicasí, el movimientu browniano matemáticu ta exentu de tales efeutos inerciales. Tenga en cuenta que los efeutos inerciales tienen que ser consideraos na ecuación de Langevin, de lo contrario la ecuación convertir en singular. De manera que la simple eliminación de la inercia d'esta ecuación nun produciría una descripción exacta, sinón más bien un comportamientu singular nel que la partícula nun se mueve n'absolutu.

La esposición matemática d'esta definición correspuende a la ecuación que gobierna la evolución temporal de la función probabilística de densidá acomuñada cola ecuación d'espardimientu d'una partícula browniana, y en definitiva ye una ecuación diferencial parcial.

Otres maneres de consiguir el so modelu matemáticu consideren un movimientu browniano $B=(B_{t})_{t\in [0,\infty ]}$ como un procesu de Gauss central con una función covariante $\mathrm {Cov} (B_{t},B_{s})=\mathop {\rm {min}} (t,s)$ pa toa $t,s\geq 0$ . La resultancia d'un procesu estocástico atribúyese-y a Norbert Wiener, quedó demostráu na teoría de probabilidá, esistente dende 1923, y conozse col nome de procesu de Wiener. Munchos detalles importantes apaecen nes sos publicaciones.

Hai munches posibilidaes de construyir un movimientu browniano:

La construcción astracta per mediu d'esquemes de Kolmogórov, onde'l problema vien col aumentu (o camín creciente).
La construcción de Lèvy-Ciesielski: induzse esti movimientu con ayuda d'un sistema de Haar de $C([0,1])$ a una base de Schauder, y constrúyese como un procesu estocástico con curva creciente.
Sía $Z_{0}$ , $Z_{1}$ , … independiente, distribuyida hermano y con distribución normal $\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ . Depués:

$S(t)=Z_{0}t+\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2}}\sin(k\pi t)}{k\pi }}$

ye un movimientu browniano.

Esti fenómenu ta bien rellacionáu tamién cola simulación de la cotización de les aiciones.

Física

La ecuación d'espardimientu ufierta un aproximamientu de la evolución temporal de la función de densidá de probabilidá acomuñada a la posición de la partícula que va so un movimientu browniano na definición física. L'aproximamientu ye válida n'escales de tiempu curties.

El desplazamientu d'una partícula sometida a un movimientu browniano llógrase resolviendo la ecuación d'espardimientu en condiciones fayadices y llogrando la media cuadrática de la solución. Esto demuestra que'l desplazamientu varia como'l raigañu cuadráu del tiempu (non linealmente), lo qu'esplica por qué los resultaos esperimentales anteriores relativos a la velocidá de les partícules brownianas dieron resultaos ensin sentíu. Una dependencia llinial temporal ta mal asumida.

Sicasí, a escales de tiempu bien curties, el movimientu d'una partícula ta apoderada pola so inercia, y el so desplazamientu va ser dependiente linealmente en tiempu: Δx = vΔt. Asina que la velocidá instantánea del movimientu browniano puede midise como v = Δx/Δt, cuando Δt << τ, onde τ ye'l tiempu de relaxación. En 2010, la velocidá instantánea d'una partícula browniana (una microesfera de vidriu atrapada nel aire con una pinza óptica) midióse correutamente.^[20] Los datos de la velocidá verificaron la distribución de velocidá de Maxwell-Boltzmann, y el teorema de equipartición pa una partícula browniana.

El movimientu browniano pue ser modeláu per un camín aleatoriu.^[21] Los caminos aleatorios en medios porosos son anómalos.^[22]

En casos xenerales, el movimientu browniano nun ye un procesu aleatoriu de Markov y descríbese poles ecuaciones integrales estocásticas.^[23]

Carauterización de Lévy

El matemáticu francés Paul Lévy propunxo'l siguiente teorema, onde la condición necesaria y suficiente pa un Rⁿ continuu, evaluáu nun procesu estocástico X pa ser realmente n, dimensiona un movimientu browniano. Polo tanto la condición de Lévy puede utilizase realmente como una definición alternativa de movimientu browniano.

Sía X = (X₁, ..., X_n) sía un procesu estocástico continuu nun espaciu probabilístico (Ω, Σ, P) tomando valores en Rⁿ. Tenemos la siguiente equivalencia:

X ye un movimientu browniano con al respective de P, por casu, la llei de X con al respective de P ye la mesma que la d'un movimientu browniano ndimensional; por casu, la midida d'emburrie X_∗(P) ye una midida clásica de Wiener de C₀([0, +∞); Rⁿ).
tanto ##

X ye una martingala con al respective de P, y ## pa tou 1 ≤ i, j ≤ n, X_i(t)X_j(t) −δ_ijt ye una martingala con al respective de P, onde δ_ij denota una delta de Kronecker.

Variedá de Riemann

Movimientu browniano nuna esfera bidimensional

El xenerador infinitesimal (y, poro, el xenerador carauterísticu) d'un movimientu browniano en Rⁿ puede calculase fácilmente en ½Δ, onde Δ denota un operador laplaciano. Esta observación ye útil al definir un movimientu browniano nuna variedá de Riemann mdimensional (M, g): un movimientu browniano M defínese como un espardimientu en M que'l so operador carauterísticu ${\mathcal {A}}$ en coordenaes locales x_i, 1 ≤ i ≤ m, ta dau por ½Δ_LB, onde Δ_LB ye'l operador de Laplace-Beltrami dau nes coordenaes por ecuación| $\Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),$ ||left}} onde [g^ij] = [g_ij]⁻¹ nel sentíu d'una matriz cuadrada inversa.

El movimientu gravitacional

En dinámica estelar, un cuerpu masivu (estrella, furacu negru, etc.) puede esperimentar el movimientu browniano yá que respuende a les fuercies gravitacionales de les estrelles d'alredor.^[24] La velocidá media cuadrática V del oxetu masivu, de masa M, ta rellacionada cola velocidá media cuadrática $v_{\star }$ del fondu d'estrelles por

MV^{2}\approx mv_{\star }^{2}

onde $m\ll M$ ye la masa del fondu estelar. La fuercia gravitacional del oxetu masivu fai que les estrelles cercanes muévanse más rápidu de como lo fadríen, aumentando tantu $v_{\star }$ como V.^[24] La velocidá browniana de Sgr A*, el furacu negru supermasivu del centru de la Vía Láctea, llograr d'esta fórmula, resultando menor a 1 km s⁻¹.^[25]

La salida estrecha

El problema de la salida estrecha ye un problema omnipresente na bioloxía, biofísica y bioloxía celular que tien la siguiente formulación: una partícula browniana (ion, molécula, o proteína) llindar a un dominiu acutáu (un compartimientu o una célula) por una llende que reflexa, sacante una pequeña ventana al traviés de la que puede escapar. El problema d'escape estrechu ye'l de calcular el tiempu mediu d'escape. Esti tiempu diverxe tanto como la ventana contráise, amenorgando asina al cálculu a un problema de perturbaciones singulares.

El movimientu browniano na lliteratura

El siguiente fragmentu ye del capítulu 34 de la novela Rayuela, de Julio Cortázar:

Maga, vamos componiendo una figura absurda, dibuxamos colos nuesos movimientos una figura idéntica a la que dibuxen les mosques cuando vuelen nuna pieza, d'equí p'allá, sópito dan media vuelta, d'allá pa equí, eso ye lo que se llama movimientu brownoideo, ¿agora entendés?, un ángulu rectu, una llinia que xube, d'equí p'allá, del fondu al frente, escontra riba, escontra baxo, espasmódicamente, frenando en secu y arrincando nel mesmu intre n'otra direición, y tou eso va texendo un dibuxu, una figura, daqué inesistente como vos y como yo, como los dos puntos perdíos en París que van d'equí p'allá, d'allá pa equí, faciendo'l so dibuxu, danzando pa naide, nin siquier pa ellos mesmos, una interminable figura ensin sentíu.

Otra novela na qu'apaez el movimientu browniano ye Un viaxe allucinante, d'Isaac Asimov, novela na qu'un equipu de científicos son miniaturizados a escala bacteriana y son introducíos na riega sanguínea d'un paciente nun submarín, detallándose los alcuentros con distintos elementos como célules, bacteries o virus, peripecia na que sufren los efeutos de dichu movimientu.

Ver tamién

Ecuación d'espardimientu
Ruiu marrón (Martin Gardner propunxo esti nome pal soníu xeneráu con intervalos aleatorios. Ye un xuegu de pallabres col movimientu browniano y el ruiu blanco.)
Sistema complexu
Ecuación de continuidá
Tiempu local (matemátiques)
Efeutu Marangoni
Ósmosis
Ecuación d'espardimientu
Ecuación de Langevin
Efeutu Tyndall
Fractales brownianos
Enerxía cinética
Teoría de los choques

Referencies

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Bibliografía

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J. Perrin, Ann. Chem. Phys. 18, 1 (1909). Ver tamién el llibru Les Atomes (1914).

Enllaces esternos

Simulador del movimientu browniano nuna molécula
Movimientu browniano en Educaplus.org Archiváu 2009-01-29 en Wayback Machine
Einstein y el movimientu browniano
Movimientu browniano, 'Diversidá y onduláu'
Descripción del movimientu browniano
Alderica la hestoria, la botánica y la física de les observaciones orixinales de Brown, con videos
"La predicción d'Einstein, finalmente, foi testigu un sieglu más tarde": una prueba pa reparar la velocidá del movimientu browniano
"Café con matemátiques: el movimientu browniano (Parte 1)": Un blogue que describe'l movimientu browniano (definición, simetríes, simulación).
Simulación en Java del movimientu browniano
Artículu simplificáu y resumíu pal so usu n'escueles infantiles

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