尖點

尖點（英語：Cusp）是曲線中的一種奇點。曲線上的動點在移到尖點時會開始反向移動，右圖是一個典型的例子。給定一個以解析參數式定義的平面曲線：

{\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}

尖點即為函數 $f$ 及 $g$ 之導數為零之點，同時方向導數在切線方向會變號（切線方向之斜率為 $\lim(g'(t)/f'(t))$ ）。尖點是局部的奇點，只牽涉到參數 $t$ 的一個值，不像自交點牽涉到 $t$ 的許多值。在某些時候，方向導數變號的條件會省去，此時奇點有可能看起來像一般的點。

以一個光滑隱函數定義的曲線來說，

F(x,y)=0,

將 $F$ 以泰勒級數展開，當其最低階項可表為一次多項式的次方時，即為尖點所在處。但是並非所有擁有此性質的奇點都是尖點，由皮瑟級數（英语：Puiseux series）相關定理可知，若 $F$ 是解析函數，則在座標線性變換後，在尖點附近可將曲線參數化成以下形式：

{\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}

其中 $a$ 是實數， $m$ 是正偶數， $S (t)$ 是 $k$ 階的冪級數且 $k > m$ 。 $m$ 也是 $F$ 最低階項中非零部份的階數。這些定義已被勒内·托姆及弗拉基米爾·阿諾爾德推廣至以可微函數定義的曲線，若某點鄰域存在微分同胚，將曲線映至以上定義的尖點，則該曲線有尖點。在某些時候，以及以下文章，尖點被限定為二階尖點，也就是說 ${{{1}}}$ 。一個平面曲線的二階尖點可被微分同胚表為 $x 2 - y 2 k +1 = 0$ ，其中 $k$ 是正整數。

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