Funciones vectoriales, su diferenciabilidad y aplicaciones en la Física

Funciones vectoriales, su diferenciabilidad y aplicaciones en la Fı́sica Monitorı́a - Cálculo Vectorial Tomás D. Campo [email protected] Universidad Pedagógica Nacional 2021-I Resumen En el presente escrito se pretende dar definición a lo que es una función de valor vectorial, que para acortar, sólo se llamará función vectorial, de tal manera que se puedan aplicar las reglas conocidas del Cálculo Diferencial a los espacios vectoriales, particularmente, en R3 , que es definido como la colección de todas las triplas ordenadas1 (x, y, z), de tal manera que esta tripla determina con exactitud a cada punto del espacio, pero al considerarlo como un espacio vectorial, cada punto es representado con un radio-vector que parte del origen y de esta manera se satisfacen todos los axiomas de espacio vectorial. Este espacio vectorial es de suma importancia para la Fı́sica, pues es posible modelar al espacio fı́sico que nos rodea como R3 , ya que con este se pueden determinar las trayectorias de partı́culas en tiempos dados y sus velocidades instantáneas en sistemas controlados. Al final se hacen reflexiones al respecto que permitirán a los lectores abrir interrogantes de corte teórico y quizás generar un interés más profundo. 1. Funciones vectoriales Sea V un espacio vectorial normado2 sobre un cuerpo3 K, entonces, a una función ~r(t) se le llama función vectorial definida sobre K si a cada valor t ∈ K le corresponde un elemento de V . Ahora, esta definición se utilizará para desarrollar el particular caso en que K = R, o sea el conjunto de los números reales, y V = R3 , que se conoce usualmente como el espacio vectorial euclı́deo 4 . De acuerdo a lo anterior, se tiene a la función vectorial definida sobre R, que, por simplicidad, sólo se le llamará función vectorial, ~r(t), para todo t ∈ R. Este 1 Formalmente, se expresa como R3 := {(x, y, z) | x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R}. Normado quiere decir simplemente que está definida una norma, esto es, una función que permite calcular la longitud de los vectores y satisface los Axiomas de la Norma. 3 Un cuerpo es un conjunto sobre el que la suma, resta, multiplicación y división están bien definidos. Se recomienda revisar el apartado de Axiomas de Cuerpo del texto Calculus, Vol. I de Tom Apostol. 4 Esto es debido a que los cinco postulados de Euclides se satisfacen. 2 1 vector en coordenadas rectangulares es dado por tres números reales, que en este caso, son tres funciones reales que dan cuenta del vector como ~r(t) = (x(t),ny(t), z(t)), ası́ que o 5 el vector es tridimensional. Si se ha escogido una base cartesiana î, ĵ, k̂ , pues este vector será expresado como ~r(t) = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)k̂ y su norma es definida como p |~r(t)| = x2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t). Un ejemplo que permite ilustrar esto, es considerar a la hélice, que es dada por la función vectorial ~r(t) = cos (t)î + sin (t)ĵ + tk̂, ver Figura (1). Su norma es q |~r(t)| = cos2 (t) + sin2 (t) + t2 , p |~r(t)| = 1 + t2 , ası́ que la longitud del vector ~r(t), evidentemente, dependerá únicamente de la evolución que t imponga. Figura 1: Gráfica de la hélice en R3 . Si ~r(t) está definida en una vecindad de un punto fijo t0 , esto es, que exista un número real δ > 0 tal que t ∈ (t0 − δ, t0 + δ)6 , entonces existe la función vectorial fija ~r(t0 ) para la que existe un ε > 0 tal que |~r(t) − ~r(t0 )| < ε, ver Figura (2), entonces, si esto se satisface, debe existir el siguiente lı́mite7 lı́m ~r(t) = ~r(t0 ) ; (1) t→t0 que es equivalente a que existan los lı́mites para las componentes de cada vector, con ~r(t0 ) = x(t0 )î + y(t0 )ĵ + z(t0 )k̂, lı́m x(t) = x(t0 ), t→t0 lı́m y(t) = y(t0 ), t→t0 5 lı́m z(t) = z(t0 ). t→t0 Un sistema coordenado rectangular y ortonormal. Los paréntesis para un intervalo indican que es un intervalo abierto, es decir, que los puntos extremos se excluyen y estos intervalos se toman como vecindades de t0 . 7 Esta es la definición de lı́mite de Cauchy extendida a funciones vectoriales. 6 2 Figura 2: Esfera abierta de radio ε en R3 como una vecindad para ~r(t0 ). Todo esto quiere decir que sobre una esfera abierta8 de radio ε en R3 , donde cada punto es dado por el vector ~r(t) − ~r(t0 ) con ~r(t0 ) como su centro, es posible definir una noción de diferenciabilidad haciendo una extensión de la definición de derivada. Si dicho lı́mite existe, se dice que ~r(t) es continua sobre el intervalo abierto (t0 − δ, t0 + δ) y además, existe el siguiente lı́mite ~r(t) − ~r(t0 ) ~r ′ (t0 ) := lı́m , (2) t→t0 t − t0 al que se denomina como la derivada de ~r en t0 , y esto implica que existan los siguientes lı́mites x′ (t0 ) := lı́m t→t0 x(t) − x(t0 ) , t − t0 y ′ (t0 ) := lı́m t→t0 y(t) − y(t0 ) , t − t0 z ′ (t0 ) := lı́m t→t0 z(t) − z(t0 ) ; t − t0 y estos lı́mites, no son más que derivadas usuales9 . Si ~r(t) es diferenciable en cada punto de su dominio, esto es, que exista la derivada, es posible entonces extender la noción de derivada de la vecindad de un punto t0 para cada t ∈ R, ası́, se dirá que ~r(t) es diferenciable en todo su dominio, por lo que la derivada se hará en vecindades arbitrarias de todo t donde los incrementos son pequeños números reales 0 < h < δ, tal que un pequeño incremento de ~r(t) se expresa como ~r(t + h), por lo tanto, la derivada puede escribirse de manera general como se muestra a continuación: ~r(t + h) − ~r(t) , h→0 h ~r ′ (t) := lı́m (3) y lo mismo se hace para cada componente del vector. Además, la definición de derivada para cada punto t no pierde generalidad a pesar de ser una noción local10 . De acuerdo a esto anterior, se podrı́a utilizar la notación de Leibniz y se heredan todas las propiedades 8 Que sea abierta quiere decir que la superficie de dicha esfera está excluida, sólo se toma la región interior de la misma. 9 O sea, la noción de derivada de una sóla variable estudiada en Cálculo I. 10 En vecindades infinitamente pequeñas del dominio. 3 dy(t) dz(t) ′ ′ usuales de las derivadas, esto es, que ~r ′ (t) = d~rdt(t) , x′ (t) = dx(t) dt , y (t) = dt y z (t) = dt . De esta manera, derivar un vector es obtener un vector que geométricamente será tangente a la curva descrita. La longitud del vector d~rdt(t) se obtiene tomando su norma, es decir, que s      d~r(t) dx(t) 2 dy(t) 2 dz(t) 2 = + + . (4) dt dt dt dt Retomando el ejemplo de la hélice, entonces su derivada es d~r(t) = − sin (t)î + cos (t)ĵ + 1k̂, dt que se puede visualizar geométricamente en la Figura (3). Figura 3: Gráfica de la derivada sobre la curva. En Fı́sica, las trayectorias de partı́culas en movimiento suelen ser curvas reales finitas, esto es, que están definidas en un intervalo cerrado11 I := [ti , tf ], donde I ⊂ R corresponde a la cantidad fı́sica tiempo, es decir, que las trayectorias son curvas en R3 que dibujan les mencionadas partı́culas al cambiar de posición continuamente a medida de que avanza el tiempo, y son denotadas como γ(t). Estas curvas tienen la forma γ : I ⊂ R −→ R3 y suelen ser funciones al menos una vez diferenciables o 1-diferenciables, esto se suele escribir como γ(t) ∈ C 1 , donde C 1 es la clase12 de todas las funciones continuamente diferenciables. Una trayectoria es entonces una curva dada por la función vectorial ~r(t) = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)k̂, también llamada como vector posición, pero definida en dicho intervalo cerrado de tiempo I, ver Figura (4). Las velocidades ~v vendrı́an a ser los cambios continuos de posición de la partı́cula en el espacio respecto al tiempo, o sea, la derivada de la trayectoria, lo que implica que ~r(t) debe ser diferenciable en el intervalo abierto A := (ti , tf ), donde A vendrı́a a ser el interior13 de I, por consecuencia, A ⊂ I. Entonces, las velocidades se definen formalmente como d~r(t) , (5) ~v := dt 11 Los intervalos cerrados incluyen los puntos extremos. Una clase es un conjunto de conjuntos. 13 El abierto más grande dentro de I. 12 4 Figura 4: Trayectoria de una partı́cula puntual en R3 en un intervalo [ti , tf ]. donde sus componentes son vx := dx(t) , dt vy := dy(t) , dt vz := dz(t) ; dt que, como fue dicho anteriormente, son vectores tangentes a las curvas, en este caso, a las trayectorias, ver Figura(5). La longitud de este vector es llamada magnitud de ~v , y Figura 5: Velocidad de una partı́cula en el tiempo t. representa la rapidez de la partı́cula en cada punto de la trayectoria, y es dada por la norma de ~v , q (6) |~v | = (vx )2 + (vy )2 + (vz )2 . 5 2. Reflexiones finales Las funciones vectoriales en R3 describen lı́neas en el espacio, que bien pueden ser continuas o discontinuas, pueden ser suaves o hacer cambios abruptos14 . Para poder tener rigurosidad sobre si la función es continua, se pensarı́a que podrı́a bastar con aplicar la definición de lı́mite de Cauchy15 , al menos de cierta manera, porque si se evalúa esta noción de lı́mite sobre un punto no definido en la función ~r(t), pues el lı́mite puede existir, lo que conlleva a un serio problema para definir con suficiente precisión lo que es una función continua. Para solucionar este problema, se puede acudir a la noción de diferenciabilidad sobre un punto t ∈ R, pues si la función es diferenciable, inmediatamente implica que es continua16 , es decir, que la continuidad se puede verificar únicamente conociendo la existencia de sus derivadas. Ahora, esta última afirmación sólo es cierta si las funciones son al menos de clase C 1 , pero ¿qué ocurre con las funciones que no son continuamente diferenciables? Pues en este caso la certeza de continuidad es brindada por la noción de espacio topológico 17 , pero esto ya es un despropósito para este escrito, ası́ que es pertinente hacer únicamente referencia a las curvas continuamente diferenciables, principamente, por su aplicación a la Fı́sica, ya que para las trayectorias se pide que las curvas sean al menos de clase C 1 , pues esto permite conocer las velocidades de una partı́cula en movimiento de manera instantánea, e incluso, para garantizar las soluciones a las ecuaciones de movimiento, las funciones deben ser como mı́nimo de clase C 2 , o sea, la clase de todas las funciones continuas y 2-diferenciables. Para culminar con el escrito, se hace una vehemente invitación a cada lector o lectora a revisar la bibliografı́a recomendada al final y a considerar la relevancia de la Topologı́a al brindar definiciones de orden fundamental para el Cálculo y el Análisis. 14 Lı́neas continuas con picos. Evaluando los lı́mites laterales y verificando que sean iguales. 16 Esta afirmación se puede demostrar, pero se le deja como ejercicio al lector o lectora. 17 Esta es la estructura más básica que tiene la Topologı́a (en Matemáticas) para dotar de una definición de continuidad muy general y precisa a un conjunto dado. 15 6 Referencias [1] Apostol, T. (1962). Calculus, Vol II. Blaisdell Publishing Company. [2] Kaplan, W. (2003). Advanced Calculus, 5th Edition. Pearson. [3] Kudriávtsev, L. (1983). Curso de Análisis Matemático I. Editorial Mir Moscú. [4] Krasnov, M., Kiseliov, A., Makarenko, G. (1981). Análisis Vectorial. Editorial Mir Moscú. [5] Sohrab, H. (2010). Basic Real Analysis, 2nd Ed. Springer-Verlag. 7