Cuadernillo de Actividades de 1er Año Secundario

Escuela de Educación Secundaria Básica Material de Matemática para los Estudios de Nivel Secundario CUADERNILLO DE ACTIVIDADES MATEMÁTICA I Material de Estudio para 1° Año de la Escuela Secundaria Básica Además de encontrar las actividades elementales para adquirir los conocimientos y aprendizajes mínimos e indispensables del área en cuestión, podrás permitirte descubrir un camino de autoconocimiento, aceptación, respeto y amor hacía ti y los demás seres sintientes que te rodean de la Naturaleza. Te invito a ser parte de una generación en evolución, que ama hacer lo que le gusta sin ir en contra de las leyes naturales y en post de crear ambientes de armonía, perfección y cuidados. Prof. ERMALIUK Hernán N. e-mail: [email protected] Matemática I Índice: Prof.: ERMALIUK Hernán N. Comunicado a la Familia: -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 Contenidos: -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 Criterios de Evaluación: -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 Qué se evalúa -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 Con qué se evalúa: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 Forma en qué se evalúa: ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4 Pautas de trabajo: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 Actividades de Repaso y Nivelación: ------------------------------------------------------------------------------------------ 6 TABLAS DE MULTIPLICAR: ------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 TRABAJO PRÁCTICO N°1: ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 TRABAJO PRÁCTICO (Evaluativo) ----------------------------------------------------------------------------------------- 9 Evaluación Modelo: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 9 Cuestionario sobre el Juego del Ajedrez:----------------------------------------------------------------------------------- 10 Cuestionario sobre Geometría: ----------------------------------------------------------------------------------------------- 10 TRABAJO PRACTICO N°2: --------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 Potenciación: ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 Reglas Generales de la Potencia: ----------------------------------------------------------------------------------------- 15 TRABAJO PRÁCTICO N°3: --------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 PROPIEDADES DE LA POTENCIA: ------------------------------------------------------------------------------------- 17 ECUACIONES: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 17 VERIFICACIÓN: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18 Otras propiedades de la potenciación: ----------------------------------------------------------------------------------- 19 Radicación: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 19 TRABAJO PRÁCTICO N°4 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 20 TRABAJO PRÁCTICO N° 5 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 23 Comprendiendo la Naturaleza de los Números Naturales: ------------------------------------------------------------- 25 CRIBA DE ERATOSTENES: ----------------------------------------------------------------------------------------------- 25 Factorización y Descomposición de Números: ------------------------------------------------------------------------- 26 M.C.M.: Mínimo Común Múltiplo. --------------------------------------------------------------------------------------------- 27 M.C.D.: Máximo Común Divisor. ---------------------------------------------------------------------------------------------- 27 EVALUACION MODELO: --------------------------------------------------------------------------------------------------- 30 LECCIÓN DEL DÍA MODELO: --------------------------------------------------------------------------------------------- 30 INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE NÚMERO RACIONAL (FRACCIONES): --------------------------------- 31 Análisis de las situaciones problemáticas planteadas: ------------------------------------------------------------------ 32 CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES: ------------------------------------------------------------------------------------ 34 Expresión decimal de una fracción: --------------------------------------------------------------------------------------- 35 FRACCIONES EQUIVALENTES: ----------------------------------------------------------------------------------------- 35 FRACCIONES IRREDUCIBLES: ------------------------------------------------------------------------------------------ 36 RELACIÓN DE ORDEN EN ℚ:--------------------------------------------------------------------------------------------- 37 Comparación de Racionales: -------------------------------------------------------------------------------------------- 37 1 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. TRABAJO PRÁCTICO N° 6 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 38 Operaciones con Racionales: ------------------------------------------------------------------------------------------------- 39 ADICIÓN ENTRE RACIONALES: ----------------------------------------------------------------------------------------- 39 SUSTRACCIÓN ENTRE RACIONALES: -------------------------------------------------------------------------------- 40 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN ENTRE RACIONALES: ---------------------------------------------------------------- 40 PRODUCTO ENTRE RACIONALES: ------------------------------------------------------------------------------------ 41 SUMAS ALGEBRAICAS (ADICIÓN, SUSTRACCIÓN y PRODUCTO) CON RACIONALES: -------------- 41 COCIENTE ENTRE RACIONALES: -------------------------------------------------------------------------------------- 42 POTENCIACIÓN ENTRE RACIONALES: ------------------------------------------------------------------------------- 43 RADICACIÓN ENTRE RACIONALES: ----------------------------------------------------------------------------------- 44 GUIA DE ACTIVIDADES PARA REVISIÓN DE CONTENIDOS: ------------------------------------------------------ 46 Soluciones:---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 49 Cuestionario Sobre el Juego del Ajedrez: ---------------------------------------------------------------------------- 49 Cuestionario Sobre Geometría: ----------------------------------------------------------------------------------------- 49 Proyectos Interdisciplinarios: --------------------------------------------------------------------------------------------------- 53 CONSUMO Y CUIDADO DEL AGUA.------------------------------------------------------------------------------------ 53 Ciencias Naturales: -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 53 Matemática: ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 53 Proyecto Reducir, reutilizar, reciclar -------------------------------------------------------------------------------------- 56 Proyecto Estamos en movimiento ----------------------------------------------------------------------------------------- 57 2 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Comunicado a la Familia: Se comunica a Uds. que el estudiante para aprobar la asignatura (Matemática I) además de alcanzar los objetivos de la misma, el educando deberá tener la carpeta completa (Tomar apuntes, tener los Ejercicios al Día, Investigaciones, Trabajos Prácticos, etc…) a modo de ser su propio material de estudio, lo cual NO significa que el docente deba verificar si están o no realizadas todas las tareas. La carpeta o cuadernillo podrá ser solicitada/o en cualquier momento del año sin previo aviso debiendo estar la/el misma/o completa/o y prolija/o (letra clara y legible, sin manchas o exceso de líquido corrector en lo posible). Se toman lecciones orales todos los días (Por ejemplo; las tablas de multiplicar. “Que deben saber si o si” y es uno de los requisitos para aprobar el área en cuestión, conceptos y reglas básicas convencionales del área), e incluso “Mini-Evaluaciones” semanales a modo de afianzar el conocimiento. Las evaluaciones de final de Unidad o Bloque Temático serán avisadas como mínimo con una semana de anticipación, en caso de que el estudiante no concurra a dicha evaluación deberá justificar la causa por medio de una nota firmada por quien sea responsable del mismo, en caso de enfermedad mediante un certificado médico para ser evaluado con posterioridad. En cuanto al uso y empleo del celular dentro del aula, será permitido en el caso que sea inminentemente necesario (llamadas urgentes) ó se lo utilice como material de trabajo, de lo contrario será retirado, dado que es un elemento que distrae al estudiante e interfiere en su aprendizaje y concentración. A su vez el estudiante debe asistir como mínimo un 85% de las clases con la libreta de notificaciones y/o cuaderno de comunicados, donde el docente informará las calificaciones del mismo, como así también si es necesaria una entrevista a modo orientativa y en post de brindar al educando un apoyo constante en su formación académica. Quedo a su entera disposición por cualquier consulta. (Considerando la presencialidad de los encuentros) Prof. ERMALIUK Hernán. Contenidos: Contenidos: DIAGNOSTICO NÚMEROS Y OPERACIONES INT. AL ÁLGEBRA Y AL EST. DE FUNCIONES GEOMETRÍA Y MAGNITUDES PROB. Y ESTADÍSTICA Actividades de: Lectoescritura. Redacción. Lectura y Comprensión de Textos. Pautas generales del área, símbolos y modos de representación. Números Naturales. Operaciones, Cálculos Combinados. Uso de Paréntesis. Propiedades. Tablas de Multiplicar. Cálculos con decimales. NUMEROS NATURALES: Las seis operaciones básicas. Propiedades y Reglas. Divisibilidad: Múltiplos y Divisores. MCM y MCD. Números Primos y Coprimos. Criterios de Divisibilidad. Áreas y Volúmenes (*). Resolución de Problemas. NUMEROS RACIONALES (Positivos): Definición. Clasificación. Relación de Orden. Ubicación en la recta numérica. Fracciones Equivalentes. Las seis Operaciones básicas. Cálculos combinados. Ecuaciones. Resolución de Problemas. Uso de la Calculadora. Proporcionalidad Directa e Inversa. Porcentaje. Lectura e Interpretación de gráficos y tablas. Construcción de gráficos. Herramientas para el estudio de la ESI. Punto. Recta. Semirrecta. Segmento. Paralelismo y Perpendicularidad. Círculo y Circunferencia. Mediatriz de un Segmento. Bisectriz de un Ángulo. Ángulos Complementarios y Suplementarios. Triángulos. Clasificación. Suma de Ángulos Interiores. Polígonos. Clasificación. Diagonales. Suma de Ángulos Interiores. Polígonos Regulares. Perímetros. Sistemas de Medida. SiMeLA. Noción de cuerpo geométrico (Poliedros, Cuerpos Redondos y Sólidos Platónicos y de Revolución) (*) Gráficos y tablas estadísticas (Pictogramas y diagramas de barra, tablas de frecuencia absoluta y relativa) 3 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Criterios de Evaluación: Los criterios que orientan la evaluación del proceso de enseñanza-aprendizaje consideran el rendimiento del alumno en función de sus potencialidades, capacidades y el progreso del mismo se verificará en el alcance de lo propuesto en las expectativas de logro como mínimo a exigir al estudiante. Se considerará el comportamiento y las actitudes personales de los estudiantes, en función de los Acuerdos Institucionales de Convivencia, el docente mediará como parte integrante del proceso de enseñanza-aprendizaje en su función de facilitador de la apropiación del conocimiento en un clima de armonía y respeto. Qué se evalúa  Verificación de la validez de propiedades conocidas en los campos numéricos estudiados.  Modelizar situaciones matemáticas y extra-matemáticas mediante el uso de números y operaciones.  Analizar, resolver y plantear problemas que involucren la ubicación de números en la recta numérica.  Anticipar resultados de distintos tipos de cálculo en forma autónoma en el marco de la resolución de problemas, ecuaciones, etc....  Interpretación y análisis de gráficos, esquemas y fórmulas que modelicen situaciones diversas.  Responsabilidad y compromiso del estudiante con respecto a la asignatura.  Uso de la calculadora.  Organización de datos en tablas y gráficos estadísticos de los datos obtenidos de diferentes fuentes. Con qué se evalúa: Interrogatorios orales y participación en clase, para lo cual el estudiante debe haber estudiado los contenidos que se tratan en y durante las clases anteriores asistidas o no. Trabajos Prácticos individuales y/o grupales para resolver en la casa o en la clase. Evaluaciones escritas e individuales. Resolución de situaciones problemáticas. Producción de láminas, registro de las actividades desarrolladas en la carpeta. Participación en actividades institucionales u olimpíadas. Forma en qué se evalúa: La evaluación es continua e involucra todas las actividades desarrolladas por el estudiante n el ámbito educacional. Pautas de trabajo:  Los estudiantes deberán concurrir diariamente a la clase con los materiales de trabajo solicitados.  Las clases serán desarrolladas asentando las conclusiones, investigaciones, datos teóricos y prácticos en una carpeta que deberá estar actualizada y completa.  Los temas y/o contenidos tratados deben conocerse aun cuando el alumno haya faltado a clase; en este caso deberá completar la tarea consultando a un compañero. Las dudas serán planteadas al profesor en la clase siguiente.  Los educandos podrán ser evaluados sobre el tema de la clase anterior y/o del día, sin necesidad de previo aviso.  Las evaluaciones escritas que involucran varios temas serán avisadas por el docente con anticipación. El estudiante no podrá ausentarse a las mismas; en caso de hacerlo deberá traer justificativo médico o nota de puño y letra de su tutor o adulto responsable.  La disciplina y el respeto hacia los demás, la responsabilidad, compromiso, la dedicación y el esfuerzo, la participación en clase y el cumplimiento en las tareas, conforman junto con el rendimiento académico, la nota de desempeño global del estudiante en cada trimestre.  No se puede utilizar teléfonos celulares, mp3, mp4, etc., durante el transcurso de la clase, salvo que sea necesario en el desarrollo de la misma.  Traer siempre la Libreta de Comunicaciones ya que es el medio de comunicación entre el docente y la familia.  El estudiante cuenta con el respaldo de adquirir información brindada por el docente de manera virtual por medio de:  Páginas de Facebook: https://www.facebook.com/matematicasentretodes https://www.facebook.com/construyendopensamientomatematico  Grupo de Facebook: https://www.facebook.com/groups/Construyendoelpensamientomatematico  Blog: https://construyendopensamientomatematico.blogspot.com/  Canal de YouTube: https://www.youtube.com/channel/UCRo1J-bz6-THEFqi-h6Fo_A/featured FIRMA DE PADRE/MADRE O TUTOR FIRMA DEL ESTUDIANTE 4 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Procuremos a partir de hoy ser: Buenos Hijos, Buenos Estudiantes, Buenos Amigos y Compañeros, demostrando Responsabilidad y Amor en el Trabajo y el Estudio, como así también dar; Más de lo que podamos… Una sonrisa desinteresada… Un buen pensamiento… Una respuesta creativa… Un gesto solidario… Una mirada de comprensión y compasión… Un trabajo responsable… Y una buena dosis de “Paciencia”. Sentiremos así la satisfacción de desafiar una ingeniosa aventura: “Recorrer juntos el Mundo de la Matemática”. Ten presente que:  “Si te gusta escuchar… Aprenderás. Presta atención y serás Sabio”.  “Cada quien es profeta de su propio destino”.  “Con una sola palabra, tan sólo con una podrás construir todo un Universo o destruirlo por completo”, tú eliges que hacer y así crear tu propia realidad… Bienvenidos… Ciclo Lectivo 2021 “El límite correcto es una demostración de afecto” Recuerda siempre esta frase: “Yo soy, yo quiero, yo puedo conseguirlo” 5 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Actividades de Repaso y Nivelación: TABLAS DE MULTIPLICAR: Completa la tabla con los valores que faltan, recuerda que el “.” (Punto). Significa multiplicar el valor de la primera columna con el de la primera fila: . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 4 9 45 16 56 25 65 36 72 49 77 64 80 81 80 77 72 65 56 45 32 17 0 91 84 91 96 99 100 99 96 75 121 144 169 84 196 75 225 64 51 36 19 0 0 Para Recordar:  Elemento Neutro en la Adición (Suma): Si bien el Cero (0), no es considerado un Número Natural, al momento de sumar números Naturales hemos de considerarlo y sin importar cuál sea el número que se le sume tanto a la izquierda como a la derecha la suma no se modificará. Entonces: 0 + 5 = 5 + 0 = 5 Simbólicamente: 0 + n = n + 0 = n (El cero es el Elemento Neutro en la Adición)  Elemento Neutro en el Producto: Al multiplicar Números Naturales por el Número Uno (1), se verifica a simple vista que el resultado (Producto) no se ve afectado por tal operación, ya sea que se haya multiplicado a izquierda o derecha, de modo que, el producto siempre será el número por el cual se lo multiplico por uno: 1 . 5 = 5 . 1 = 5 Simbólicamente: 1 . n = n . 1 = n (El uno es el Elemento Neutro en el Producto)  Elemento Absorbente en el Producto: Como bien se mencionó anteriormente el Cero (0), no pertenece al conjunto de los Números Naturales, de igual modo lo tendremos en cuenta al momento de realizar operaciones con estos números. Entonces cuando se multiplica un número cualquiera por cero ya sea a izquierda o derecha el resultado es siempre Cero (0), es decir: 0 . 5 = 5 . 0 = 0 Simbólicamente 0 . n = n . 0 = 0 (El cero es el Elemento Absorbente en el Producto) 6 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. TRABAJO PRÁCTICO N°1: 1) Lee detenidamente cada situación problemática, luego plantea, resuelve y responde cada interrogante: a) Durante las vacaciones de verano Francisco estuvo haciendo algunos trabajos con sus primos y tíos y estos le dieron unos pesos como recompensa, al final de Febrero se encontró que tenía: ocho billetes de $200, dieciséis billetes de $50 y nueve monedas de $10. ¿Cuánto dinero se tiene en total Francisco? b) El edificio donde vive mi tía Stella tiene nueve pisos en total, en los cinco primeros hay seis departamentos en cada uno de los pisos, y en los restantes hay tres departamentos en cada uno de los pisos. ¿Cuántos departamentos tiene el edificio en total? Si en cada departamento viven dos personas. ¿Cuántas personas viven en total en el edificio donde vive la tía Stella? c) Xavier construyó hace unos años atrás una casilla para los perros, la cual tiene un techo de tejas, que están dispuestas en ocho filas de tejas, de modo que cada fila tiene cinco tejas cada una. Si tuvo que cambiar 14 tejas del total porque estaban rotas. ¿Cuántas tejas sanas había? d) Marianela, la mamá de Ignacio compró un álbum de fotos. En el cual caben cuatro fotos por cada página. Si el álbum tiene veintisiete páginas y se han colocado cuarenta y siete fotos. ¿Cuántas fotos podrá Marianela colocar aún? e) Gerardo es un ciclista muy aplicado con su entrenamiento y ha dado treinta y cuatro vueltas a una pista de 550 metros. ¿Cuántos metros ha recorrido Gerardo en total? f) En las sierras de Tandil existe un manantial arroja 60 litros de agua por minuto. ¿Cuántos litros de agua arroja en una hora? ¿Y en un día…? ¿Y en una semana…? ¿Cuántos litros de agua arrojará por segundo? g) José tiene una empresa de construcción, en la cual trabajan una cierta cantidad de albañiles y le pidieron construir un gran muro. Si construyen nueve metros de pared por día. ¿Cuántos metros de pared construirán en cuatro semanas, si trabajan de lunes a viernes? 2) Une con flechas cada Calculo Combinado con su correspondiente resultado1: A a) b) c) d) e) f) 4.5+3.2= 84 – 6 : 3 = 9 . 8 + 23 = 36 + 4 . 5 . 5 – 24 = 9.9–5.2= 11 + 15 . 21 = B 82 95 112 26 326 71 i. ii. iii. iv. v. vi. 4.( 5 + 3 ) . 2 = ( 84 – 6 ) : 3 = 9 . ( 8 + 23 ) = 36 + 4.(5 .5 – 24 ) = 9.(9–5).2= (11+15) . 21 279 72 40 26 546 64 Compara los resultados obtenidos en la tabla anterior correspondientes en las columnas A y B. ¿Qué observas en ellas? ¿Qué hay en una que no está en la otra? ¿Los resultados obtenidos son los mismos? ¿Por qué razón crees que es así? 3) Colocar los paréntesis en el lugar correcto para que la igualdad indicada sea la indicada. Efectúa para cada caso los cálculos que lo demuestren. d) 125 + 15 : 20 – 15 = 128 e) 170 + 30 : 10 – 6 = 14 f) 900 : 9 + 1 . 4 – 2 = 202 a) 3 + 12 : 3 + 4 = 9 b) 100 : 5 + 5 . 7 – 4 = 75 c) 125 + 15 : 20 – 15 = 28 4) Separa en términos y resuelve cada uno de los siguientes cálculos: a) b) c) d) 1 2.5(3+1)–3.6= 2[5(3+1)–3.6]= 2[5(3+1)–3].6= 2.5.3+1 –3. 6= e) 2 . 5 . ( 3 + 1 – 3 ) . 6 = f) ¿Qué observas en los ejercicios anteriores? ¿Los resultados obtenidos son iguales? ¿Por qué? Recuerda que un punto “.” significa MULTIPLICAR y dos puntos “:” significa “DIVIDIR” 7 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. 5) Lee con atención, luego plantea y Resuelve cada situación problemática: a) Se han comprado dieciocho lapiceras por $54. ¿Cuánto cuestan cinco lapiceras? b) Una canilla vierte veintiocho litros de agua por minuto en un tanque de mil litros. Si ha estado abierta durante media hora. ¿Cuántos litros de agua faltan para llenar el tanque? c) Nathaian y Nicole ganan al mes $19800 y $ 21230 respectivamente. ¿Cuánto dinero cobrará al mes su padre si gana $ 6430 menos que los dos juntos? d) Un camionero ha recorrido 1480 km de los 2390 km que tiene que recorrer. ¿Cuántos kilómetros le quedan aún por recorrer? e) Norberto tiene 519 estampillas y desea pegar veinticuatro en cada página de un álbum. ¿Cuántas páginas podría completar de dicho álbum? Si alguna página del álbum quedara incompleta. ¿Cuántas estampillas habrá en ella? ¿Cuántas podrán agregarse? f) Un día en una librería se vendieron treinta libros de animales a $705 cada uno y veinticinco de plantas a $499. Si al precio de cada libro hay que agregarle $28 en concepto de impuestos. ¿Cuál fue la recaudación por la venta de los libros en dicha librería? g) En un negocio de repuestos de automóviles se vendieron veinticinco cubiertas de pick-up a $7500 cada una y treinta cámaras para cubiertas de auto a $1980 cada una. Si al precio de las cámaras y cubiertas se le agregan $95 por impuestos de importación. ¿Cuál fue la recaudación por la venta de ambas clases de artículos? 6) Traduce al lenguaje simbólico cada uno de los siguientes enunciados y luego realizar los cálculos correspondientes. a) b) c) d) e) f) g) h) i) El siguiente de trece: ………………………………………………………………….……….. El doble de siete aumentado en cuatro: ……………………………………………………... La mitad de veinte, disminuido en nueve: ……………………………………………………. La mitad de veinte, aumentado en nueve: ………………………………………….………… El siguiente de treinta y siete disminuido en tres: ………………………………….………… El triple de ocho, aumentado en el doble de once: ………………………………….………. El triple de ocho, disminuido en el doble de once: ………….……………………….………. El cuádruple de dieciséis, disminuido en el doble de doce: ………………………….…….. La tercera parte de cuarenta y cinco, más treinta y ocho:…………………………….……. 7) Completa el cálculo con el número que corresponda para que la igualdad sea correcta. a) b) c) d) 94 + _____ = 170 12 . _____ = 252 173 - _____ = 99 ______ : 19 = 9 e) f) g) h) 57 + 2 . _____ = 79 51 . _____ = 765 5 . 41 – 3 . _____ = 163 _____ : 21 = 7 8) Lee atentamente cada situación, luego plantea, resuelve y responde. a) ¿Cuántos números de tres cifras pueden escribirse con los dígitos: 2; 5; 6 y 9? ¿Y cuántos de cuatro cifras? b) Considerando los dígitos 1; 3; 5; 7 y 9. ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden escribirse? ¿Y de tres? ¿Y de cinco? c) Considerando las letras: A, B, C y D. ¿Cuántas combinaciones pueden lograrse agrupándolas en grupos de tres? ¿Y en grupos de cuatro? ¿Y en grupos de cinco? Considerar para ambas situaciones el caso donde puedan repetirse las letras y no. d) ¿Cuántos códigos diferentes podrán establecerse con tres letras del abecedario (de la “A” a la “Z”, sin la “Ñ”) y con tres números (del 0 al 9 )? Por ej.: AAA000; HNE639; ZZZ999, etc… e) Teniendo en cuenta los dígitos del 1 al 8. ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden escribirse? ¿Cuál de ellos es el mayor y cual el menor? Escribe dos números que sean capicúa. 8 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. “La capacidad de la empatía permite comprender y ayudar al otro, sin juzgarlo” TRABAJO PRÁCTICO (Evaluativo) I. Lee, plantea y resuelve:  Un día en una librería se vendieron cuarenta libros de animales a $700 cada uno y quince de plantas a $500 cada uno. Si al precio de cada libro hay que agregarle $25 en concepto de impuestos. ¿Cuál fue la recaudación por la venta de los libros en dicha librería?  En un negocio de repuestos de automóviles se vendieron cincuenta cubiertas de pick-up a $9500 cada una y sesenta cámaras para cubiertas de auto a $2000 cada una. Si al precio de las cámaras y cubiertas se le agregan $150 por impuestos de importación. ¿Cuál fue la recaudación por la venta de ambas clases de artículos? II. Coloca los paréntesis para que la igualdad tenga sentido. a) 24 + 4 : 4 – 5 = 2 b) 800 : 8 + 4 . 5 – 3 = 208 III. c) 190 + 45 : 15 – 10 = 199 d) 500 : 9 + 1 – 3 . 2 = 44 Efectuar los siguientes cálculos combinados teniendo en cuanta las reglas o propiedades, previa separación en términos. a) 46 + 5 . 13 – 37 + 14 = b) 68 + 16 + 5 ( 53 – 18 ) – 42 = IV. c) 124 : 4 . 5 – 109 + 12 : 4 = d) 16 ( 78 – 19 ) + 50 = Decidir y redondear con un color cual de los siguientes números; 120; 231; 132; 121, es el resultado de la siguiente suma algebraica: 25 + 32 . 3 – 2 . 9 + 18 = V. Completa el cálculo con el número que corresponda para que la igualdad sea correcta. a) 3 . ______ + 5 = 17 b) 2 . ______ – 2 = 4 c) 3 . ( _______ + 5 ) = 27 d) 2 . ( ______ + 1 ) = 8 e) 5 . ______ – 9 = 21 f) 5 ( ______ - 6 ) = 15 “Un ser sin límites no puede construir su identidad” Evaluación Modelo: A. Un edificio tiene once pisos, en los ocho primeros pisos, hay seis departamentos en cada uno y en los restantes pisos, hay cuatro departamentos en cada uno. ¿Cuántos departamentos tiene el edificio? Si en el edificio viven cuatro personas por departamento. ¿Cuántas personas viven en total en el edificio? B. Coloca los paréntesis en el lugar indicado para que las igualdades tengan sentido. Elige tres de los cálculos: a) 3 . 4 – 2 . 4 + 1 + 3 + 3 . 2 = 6 b) 3 . 4 – 2 . 4 + 1 + 3 + 3 . 2 = 11 c) 3 . 4 – 2 . 4 + 1 + 3 + 3 . 2 = 14 d) 3 . 4 – 2 . 4 + 1 + 3 + 3 . 2 = 17 e) 3 . 4 – 2 . 4 + 1 + 3 + 3 . 2 = 18 f) 3 . 4 – 2 . 4 + 1 + 3 + 3 . 2 = 34 C. Un manantial arroja 120 litros de agua por minuto. ¿Cuántos litros de agua arrojará en una hora? ¿Y en un segundo? ¿Y en un día? ¿Y en una semana? D. Teniendo en cuenta los dígitos: 4; 7 y 8. ¿Cuántos números de 3 cifras pueden escribirse? ¿Cuál de ellos es el mayor y cual el menor? E. Escribe en símbolos: “El triple de ocho aumentado en el doble de seis” “Tan sólo somos un punto en éste vasto e infinito Universo, pero tan poderosos como un Dios” 9 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Cuestionario sobre el Juego del Ajedrez: 1 2 3 4 5 ¿Conoce el Juego del Ajedrez? ¿Qué tipo de tablero se usa para el juego del Ajedrez y como se llama? Dicho tablero, además de ser usado para el juego del Ajedrez se emplea para otro juego. ¿Cuál/es es/son ese/os juego/s? ¿Qué nombre recibe cada casilla del tablero? ¿Cuántas casillas contiene el tablero? ¿Cuáles son las características que tienen en común “El Ajedrez” y “Las Damas” ó similitudes? ¿Conoce la historia del Juego del Ajedrez? Si no la conoce búsquela… Cuestionario sobre Geometría: 1 Indique que significa cada uno de los siguientes conceptos en Geometría: a) ¿Qué es un Punto en el plano? b) ¿Y un segmento? c) ¿Y una recta? d) ¿Y una semirrecta? e) Paralelismo y Perpendicularidad. 2 ¿Qué es un Polígono? ¿Cuántas dimensiones tiene? ¿Qué tipos de polígonos hay y como se clasifican? ¿Cuántos segmentos como mínimo se necesitan para delimitar un polígono cerrado? 3 Complete la siguiente tabla según corresponda: Cantidad de Lados Tres Lados Cuatro Lados Cinco Lados Seis Lados Siete Lados 4 Nombre Cantidad de Lados Ocho Lados Nueve Lados Diez Lados Once Lados Doce Lados Nombre Los Polígonos Cerrados Convexos pueden ser Regulares o Irregulares, por el momento nos referiremos a uno de ellos que es el Cuadrado ─ Polígono cerrado regular de cuatro lados los cuales tienen la misma longitud y a su vez el ángulo que forman entre sí dos lados consecutivos es de 90° (grados) ─ Éste Polígono tiene ciertas propiedades y características. Nos centraremos precisamente en su Área ó Superficie (que definiremos como la porción del plano que ocupa dicho polígono), o mejor dicho en la expresión para determinarla. En los polígonos de lados paralelos la expresión que se emplea para el cálculo de su Área ó Superficie es la siguiente: A = B . h ( donde A: representa el Área o superficie, B: es la base del polígono, es decir lo que “apoya” y h: su altura) ¿Cómo sería en ésta ocasión la expresión para determinar el área de un cuadrado? Entiéndase que el cuadrado tiene todos sus lados de igual longitud (L), de manera que tanto la base como la altura tienen la misma medida. h B Área  A = B . h L L A = …………. 5 ¿Qué es un Paralelepípedo recto? ¿Cuáles son los elementos de un prisma? Realice un esquema y coloque los nombres en el mismo. 6 ¿Un Prisma Recto y un Paralelepípedo recto es lo mismo? 10 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. 7 Si un prisma recto o paralelepípedo recto tiene todas sus aristas de igual longitud. ¿Qué nombre recibe? 8 Complete la siguiente tabla. Nombre del Prisma Hexaedro Regular Cubo 9 Cantidad de Caras Cantidad de Aristas Cantidad de Vértices De todos los prismas que existen, nosotros nos centraremos en el “Hexaedro Regular” o “Cubo”, el cual está conformado por seis Caras con forma de cuadrado paralelas dos a dos, doce Aristas y ocho Vértices. Encuentra ejemplos de ellos en la vida diaria, es decir que cosas se parecen a ellos. Así como las figuras planas o Polígonos tienen un Área o Superficie, los cuerpos geométricos tienen “Volumen” (que es equivalente a pensar en la porción del espacio que ocupa dicho cuerpo). Para determinar el Volumen de un prisma recto o de un paralelepípedo recto, se realiza el producto entre sus aristas no paralelas entre sí, es decir, que se efectúa el producto entre la arista del “frente” por la de “profundidad” por la de la “altura” Simbólicamente: V = f . p . h Donde “f” representa la medida de la arista del frente, “p” representa la medida de la arista de la profundidad y “h” representa la medida de la arista de la altura. h f p Volumen  V = f . p . h Veamos ahora si en vez de tener un prisma recto como en el caso anterior, tenemos un Cubo, en el cual todas las aristas tienen la misma longitud, es decir, la misma medida. ¿Cuál es la expresión que se emplea para el cálculo del volumen de un Cubo o Hexaedro Regular? a a a V = ……………… 10 Según los datos e información que has logrado encontrar responde: a) ¿Qué superficie tendrá un cuadrado, si se sabe que su lado mide 6 cm? b) ¿Cuál será el volumen de un cubo, si se sabe que su arista mide 4 cm? “Yo soy la única Inteligencia actuando y obrando siempre en mi” 11 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. TRABAJO PRACTICO N°2: Leer, Analizar, Plantear, resolver cada situación problemática y luego responde. 1. Hace unos años cuando fui a un pueblo de visitas noté una situación muy particular, y fue la siguiente; “Este pueblo tenía cuatro manzanas2, y en cada cuadra había cuatro casas, y en dichas casas vivían cuatro personas”. i. ii. iii. iv. v. ¿Cuántas cuadras tenía el pueblo? ¿Cuántas casas tenía el pueblo? ¿Cuántas personas vivían en dicho pueblo? Plantea una situación cuya característica sea similar a la planteada anteriormente, pero con la diferencia de que se trate de un pueblo que tenga tres manzanas, tales que esas “manzanas” sean de tres cuadras cada una, en las cuales haya tres casas y por cada una de esas viviendas vivan 3 personas. ¿Qué forma tendrán estas “Manzanas”? ¿Cómo será la situación si fueran cinco manzanas que consten de cinco cuadras y por cada cuadra haya cinco casas y en dichas viviendas vivan cinco personas? ¿Qué forma tendrán esas “manzanas”? 2. Cuenta la leyenda de juego del Ajedrez que; “hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de la India un rey llamado Sheram. En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo, y ello le dejó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle. Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte y pidió audiencia. El rey la aceptó y Sissa le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el Ajedrez. Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido. Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que él deseara. – Sissa, quiero recompensarte dignamente por el ingenioso juego que has inventado —dijo el rey. El sabio contestó con una inclinación. – Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado —continuó diciendo el rey—. Di la recompensa que te satisfaga y la recibirás. Sissa continuó callado. – No seas tímido —le animó el rey—. Expresa tu deseo. No escatimaré nada para satisfacerlo. – Grande es tu magnanimidad, soberano. Pero concédeme un corto plazo para meditar la respuesta. Mañana, tras maduras reflexiones, te comunicaré mi petición. Cuando al día siguiente Sissa se presentó de nuevo ante el trono, dejó maravillado al rey con su petición, sin precedente por su modestia. – Soberano —dijo Sissa—, manda que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez. – ¿Un simple grano de trigo? —contestó admirado el rey. – Sí, soberano. Por la segunda casilla, ordena que me den dos granos; por la tercera, 4; por la cuarta, 8; por la quinta, 16; por la sexta, 32… – Basta —le interrumpió irritado el rey—. Recibirás el trigo correspondiente a las 64 casillas del tablero de acuerdo con tu deseo: por cada casilla doble la cantidad por la que la precedente. 2 Espacio urbano delimitado por calles por todos lados. 12 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Averigua: i. ii. ¿Cómo se llama cada casilla del tablero de Ajedrez? ¿Cuántas casillas tiene el tablero? ¿Cuántos granos de trigo le correspondieron a Sissa sólo por la primera fila del tablero? Es decir, por las primeras ocho casillas. 3. ¿Qué dimensión tendrá el área (𝐴) de cada cuadrado cuyos lados (𝐿) miden respectivamente? a) 𝐿 = 1 → 𝐴 = b) 𝐿 = 2 → 𝐴 = c) 𝐿 = 3 → 𝐴 = d) 𝐿 = 4 → 𝐴 = e) 𝐿 = 5 → 𝐴 = f) 𝐿 = 6 → 𝐴 = 𝐿 g) 𝐿 = 7 → 𝐴 = h) 𝐿 = 8 → 𝐴 = i) 𝐿 = 9 → 𝐴 = 𝐿 j) 𝐿 = 10 → 𝐴 = k) 𝐿 = 11 → 𝐴 = l) 𝐿 = 12 → 𝐴 = m) 𝐿 = 13 → 𝐴 = Si deseáramos expresar el área de un cuadrado como se muestra en la figura, cuyo lado es “𝐿” ¿Cómo lo haríamos? NOTA: “Para averiguar el área de un cuadrado se multiplica la medida de su base por la medida de su altura, es decir; 𝐴 = 𝑏. ℎ o bien: 𝐴 = 𝐿. 𝐿” 4. ¿Qué dimensión tendrá el volumen (𝑉) de cada cubo cuyas aristas (𝑎) miden respectivamente? a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 =1 =2 =3 =4 =5 =6 =7 =8 =9 = 10 = 11 = 12 →𝑉= →𝑉= →𝑉= →𝑉= →𝑉= →𝑉= →𝑉= →𝑉= →𝑉= →𝑉= →𝑉= →𝑉= 𝑎 𝑎 𝑎 Si deseáramos expresar el volumen de un cubo como se muestra en la figura, cuya arista es “a” ¿Cómo lo haríamos? NOTA: “Para averiguar el volumen de un cubo es necesario multiplicar la medida de su arista de frente (ancho), por la medida de la arista del costado (largo) por la medida de la arista de la altura, es decir; 𝑉 = 𝑓. 𝑙. ℎ o bien: 𝑉 = 𝑎. 𝑎. 𝑎” 13 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. 5. Lee cada una de las siguientes situaciones problemáticas y luego resuélvelas por el método que te resulte más conveniente. (Tener en cuenta que se pide cantidad, no enumerar) i. ii. iii. iv. v. vi. Si se tienen los dígitos: 4; 7 y 2. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden escribir? ¿Cuántos números de cuatro cifras podrán formarse con los dígitos: 1; 2; 3 y 4? Con los dígitos: 2; 3; 5; 6 y 8. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir? ¿Cuántos códigos de cuatro caracteres se podrán formar con los símbolos: 5; 8; 𝐸; 𝑀? Suponer que se desean crear códigos de cinco caracteres. ¿Cuántos de esos códigos podrán formarse con los símbolos: 𝑅; 𝑆; 𝑇; 1; 9? NOTA: Considerar en todos los casos la repetición de los símbolos. Suponer que se desean crear códigos de cuatro caracteres. ¿Cuántos de esos códigos podrán formarse con los símbolos: 𝐻; 5; 𝑁; 2; 3? NOTA: Considerar en todos los casos la repetición de los símbolos. Para resolver las situaciones anteriores se emplea un método denominado “Combinatoria”, que es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las formas de contar o contabilizar elementos o una colección de estos que pertenecen a un conjunto de datos que cumplen una condición especifica. Por ejemplo: si se desea contabilizar la cantidad de números de tres cifras que pueden escribirse con los dígitos; 1; 4 y 7, procederemos del siguiente modo: 1) Entender que quiero contar, determinar una cantidad, no enumerar o nombrar. 2) Para este caso el número debe tener exactamente 3 cifras. (Unidad, Decena y Centena). 3) Los Dígitos usados pueden repetirse para formar los números de 3 cifras. Entonces: partimos de que el número debe tener 3 cifras: _ _ _  La Centena puede ser ocupada por cualquiera de los dígitos mencionados: 1; 4 ó 7, es decir que hay 3 posibilidades.  La Decena puede ser ocupada por cualquiera de los dígitos mencionados: 1; 4 ó 7, es decir que hay 3 posibilidades.  Finalmente la Unidad puede ser ocupada por cualquiera de los dígitos mencionados: 1; 4 ó 7, es decir que hay 3 posibilidades. De esta manera para cada lugar se tienen (3) tres posibilidades de ocupación, de modo que para saber cuántos números de tres cifras se pueden escribir con los dígitos; 1; 4 y 7 se multiplica: 3.3.3 y ese producto es equivalente a: 27. En consecuencia se podrán escribir 27 números de 3 cifras usando los dígitos dados. Observación: ¿Qué ocurre si se deseará escribir números de tres cifras con los dígitos; 1; 4 y 7, pero con la condición de que no puede haber números cuyas cifras se repitan? Para esta ocasión el procedimiento es similar, sólo que a medida que se avanza las posibilidades se reducen, es decir que:  Partimos de suponer que la Centena puede ser ocupada por cualquiera de los dígitos mencionados: 1; 4 ó 7, es decir que hay 3 posibilidades.  Pero la Decena ya no puede ser ocupada por cualquiera de los dígitos mencionados: 1; 4 ó 7, pues uno de ellos ya se usó en la centena, es decir que ahora hay 2 posibilidades.  Finalmente la Unidad puede ser ocupada por sólo uno de los dígitos mencionados: 1; 4 ó 7, es decir que hay sólo 1 posibilidad. Por consiguiente para saber cuántos números de tres cifras pueden escribirse con los dígitos; 1; 4 y 7, sin repetir las cifras, se multiplica: 3.2.1 y ese producto es equivalente a: 6. En consecuencia se pueden escribir 6 números de tres cifras con los dígitos dados. 6. Se tienen en un bolillero cinco esferas con los números: 1; 3; 5; 7 y 9. Se extraen al azar cuatro esferas con la condición de reponer aquella que se extrae. ¿Cuántos números podrían formarse? 7. Con las letras: 𝐴; 𝐵; 𝐶; 𝐷  E se desean organizar códigos de tres símbolos. ¿Cuántas combinaciones pueden lograrse? ¿Y si fueran códigos de cuatro símbolos, cuantas serían las combinaciones posibles? Considerar en ambos casos la repetición de las letras. 8. ¿Cuántos códigos pueden establecerse con tres letras del abecedario (de A a Z, sin considerar la “Ñ”) y tres números (de 0 a 9)? Por ej.: AAA 000; HNE 639; ZZZ 999. 14 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. 9. ¿Cuántos tipos de patentes pueden armarse según la nueva codificación de dominios del automotor en Argentina? Por ej.: AB 012 CD (Tener en cuenta que la “Ñ” no está en los dominios) 10. ¿Qué diferencia hay entre el ejercicio 8 y el 9? ¿Cuántos vehículos más pueden codificarse? “Nada ni nadie nos pertenece, y nada es más eterno que nuestro propio presente” Potenciación: Definición: “Una potencia es el producto3 de factores4 iguales”: 𝑏 𝑛 = 𝑏. 𝑏. 𝑏. … . 𝑏 (𝑏 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 "n"𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠). La expresión: "𝑏 𝑛 " POTENCIA, donde "𝑏" es la base de la potencia y "n"el exponente de la misma se denomina Por ejemplo: 32 = 3 . 3 (Se lee: tres al cuadrado ó tres elevado a la segunda) 23 = 2 . 2 . 2 (Se lee: dos al cubo ó dos elevado a la tercera) 52 = 5 . 5 (Se lee: cinco al cuadrado ó cinco elevado a la segunda) 74 = 7 . 7 . 7 . 7 (Se lee: siete a la cuarta ó siete elevado a la cuarta) 45 = ………………………………………………………………………………………… …………………………… (Se lee: dos a la sexta ó dos elevado a la sexta) Reglas Generales de la Potencia:  Todo número (exceptuando el cero) elevado a la cero es 1. En símbolos: b0 = 1, con b ≠ 0 Ej.:……………………………………………….……..  Todo número elevado a la 1, o primera potencia es el mismo número: En símbolos: b1 = b Ej.:……………………………………………………..……………  Uno elevado a cualquier exponente es siempre uno. En símbolos: 1n = 1 Ej.:………………………………………………………………….  Cero elevado a cualquier exponente (exceptuando el mismo cero) siempre es cero. En símbolos: 0n = 0, con n ≠ 0 Ej.:………………………………………….…………  La expresión: 00 No está definida, NO EXISTE, es decir que No tiene sentido alguno. En símbolos: 00 = ∄ TRABAJO PRÁCTICO N°3: 1 a) b) c) d) e) f) 2 a) b) c) d) e) 3 4 Identificar cuáles de los siguientes productos pueden ser expresados como una potencia y escribirlos: 3.3.3.3 = 2.2.2 = 4.4 = 5.5.5.5.5.5 = 2.3.4.5 = 1.1.1.1.1 = g) h) i) j) k) l) 2.2.5.6 = 7.7.7.7 = 0.0.0.0.0 = 3.4.5.3.7 = 6.6.6.6 = 1.2.1.2.1 = m) n) o) p) q) r) 4.4.3.3.5 = 12.12.12 = 2.2.2.2.2 = 3.6.9.7 = 11.1.111 = 12.21.1.2 = Resuelve y calcula cada potencia aplicando la definición y las reglas de la Potencia: 23 32 53 44 72 = = = = = f) g) h) i) j) 25 = 24 = 34 = 110 = 101 = k) l) m) n) o) 35 = 04 = 15 = 51 = 62 = p) q) r) s) t) 33 = 112 = 132 = 90 = 27 = Así se denomina a la Multiplicación Se denomina así a cada uno de los números que forman parte de un Producto (Multilicación). 15 u) v) w) x) y) 43 = 142 = 36 = 22 = 700 = Matemática I 3 Prof.: ERMALIUK Hernán N. Completa la tabla de doble entrada según la indicación dada: 𝑏0 ∄ Número: 𝑏 0 1 𝑏1 𝑏2 𝑏4 𝑏3 𝑏5 𝑏7 𝑏6 𝑏8 1 32 3 4 125 6 7 8 9 10 11 144 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 1 24 4 ¿Qué dimensión tendrá la superficie de un cuadrado cuyo lado mide L = 6cm? ¿Y si su lado mide L = 9cm? ¿Y otro cuyo lado mide L = 13cm? 5 ¿Qué volumen tendrá un cubo si se sabe que su arista mide a = 4cm? ¿Y si su arista mide a = 8cm? ¿Y de otro cuya arista mide a = 11cm? 6 Determinar una expresión genérica que exprese y represente el área de cada una de las siguientes figuras, o el volumen de los cuerpos en su defecto. 𝑥 2𝑥 𝑥 2𝑡 7 a) b) c) d) 𝑥 3𝑡 𝑧 2𝑦 3𝑦 𝑧 𝑧 𝑥 Resuelve cada expresión y extraer una conclusión final de lo observado. 42 + 62 = (4 + 6)2 = 42 + 32 = (4 + 3)2 = e) f) g) h) 12 + 32 = (1 + 3)2 = 62 − 42 = (6 − 4)2 = 16 i) j) k) l) 2𝑥 3𝑥 53 − 43 = (5 − 4)3 = 43 − 23 = (4 − 2)3 = Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Conclusión:……………………………………………………………..…………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….… 8 a) b) c) d) Resuelve cada expresión y extraer una conclusión final de lo observado. 42 . 62 = (4 . 6)2 = 42 . 32 = (4 . 3)2 = e) f) g) h) 12 . 32 = (1 . 3)2 = 82 ∶ 42 = (8 ∶ 4)2 = i) j) k) l) 63 ∶ 33 = (6 ∶ 3)3 = 103 ∶ 23 = (10 ∶ 2)3 = Conclusión:…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… 9 Resuelve cada una de las siguientes sumas algebraicas con operaciones combinadas. a) 32 + 2(3 + 1) − 2.4 + 100 = e) 310 + 241 − 52 + 115 − 1000 = b) 2.5.3 − 33 + 82 − 19 = [(4 + 1)2 − 4.6]5 = f) c) 4(3 − 2) + 2[1 + (3 − 1). 2] = [(4 − 2). (4 + 2)]2 − 102 = g) d) 52 (32 − 23 ) + 53 − 62 = PROPIEDADES DE LA POTENCIA: Las siguientes propiedades son reglas que se pueden seguir a fin de facilitar los cálculos y determinar resultados de modo práctico y rápido. Escribe de cada una dos ejemplos como mínimo, para verificar la veracidad de cada propiedad.  La Potenciación NO es distributiva con respecto a la adición y/o sustracción.  La Potenciación es distributiva con respecto al producto.  La Potenciación es distributiva con respecto al cociente.  La Potenciación NO es conmutativa. (𝑎 ± 𝑏)𝑛 ≠ 𝑎𝑛 ± 𝑏 𝑛 (𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏 𝑛 (𝑎: 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 : 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 ≠ 𝑛𝑎 Ejemplos:……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………… “Yo soy, yo quiero, yo puedo conseguirlo…” ECUACIONES: Se llama ecuación a una igualdad entre dos miembros, en el que existen uno o más elementos desconocidos identificados con una letra “𝑥” u otra letra en su defecto, denominada/s incógnita/s. Resolver una ecuación significa despejar la incógnita o variable y encontrar el o los valores de la o las incógnitas que verifiquen y satisfagan dicha igualdad. Por ejemplo: 𝑥 − 5 = 8 − 30 1° miembro 2°miembro Decimos entonces que: 𝑥 − 5 es el primer miembro y 8 − 30 es el segundo miembro, en este ejemplo. Para desarrollar la ecuación procederemos del siguiente modo, “despejando” la variable “𝑥”, es decir dejándola sola en uno de los miembros “quitando” ó “retirando” de alrededor de ella los demás elementos, o bien apartando todos los demás elementos (números) al otro miembro, siguiendo un orden determinado y resolviendo cada operación, (sumas, restas, productos, cocientes, potencias y/o raíces). A continuación se mostrarán ejemplos de cómo resolver y desarrollar una ecuación: 17 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N.  Sumo 5 en ambos miembros 𝑥−5+5=8−1+5 𝑥 =7+5   En el miembro de la izquierda se cancelan los términos y en la derecha se resuelve  Finalmente resulta que “x” debe asumir el valor 12, para que la primera expresión tenga sentido.  En el primer miembro se tiene 63 + 𝑥 y en el segundo 34 − 125 . Se resuelve lo que se pueda en principio.  Resto 216 en ambos miembros. En el miembro de la izquierda se cancelan los términos de diferente signo, mientras que en el de la derecha se resuelve. Finalmente resulta que “x” debe asumir el valor 26, para que la primera expresión tenga sentido. 𝑥 = 12 Otro ejemplo, supongamos la ecuación siguiente: 63 + 𝑥 = 35 − 125 216 + 𝑥 = 243 − 1 216 + 𝑥 − 216 = 243 − 1 − 216 VERIFICACIÓN: 𝑥 = 26 Si se reemplaza la “x” por el número 12 que es el resultado de la primera ecuación, es decir, en el primer ejemplo, se debería verificar la igualdad y que el resultado hallado es el correcto. En efecto resulta que: 12 − 5 = 8 − 30 7=8−1 7=7 Para el caso del segundo ejemplo, es decir, en la segunda ecuación debe de reemplazarse la “x” por 26, que fue el resultado hallado y si la igualdad se cumple el valor encontrado es el correcto. De modo que: 63 + 26 = 35 − 125 216 + 26 = 243 − 1 242 = 242 Como se observa en ambos casos la igualdad se verificó, de manera que los resultados hallados son correctos. Este proceso se denomina “Verificación de la Ecuación”. NOTA IMPORTANTE: Vale aclarar que el valor que resulta de realizar la verificación de la ecuación, (7 en la primera ecuación y 242 en la segunda) NO tiene nada que ver con el valor de “x” hallado al resolver dicha ecuación. 10 Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones: a) 𝑥 + 23 = 15 e) 4𝑥 − 62 = 4 b) 𝑥 − 32 = 110 f) 2𝑥 − 92 = 1 c) 2𝑥 − 42 = 6 g) 𝑥 + 3 = 42 + 4 d) 3𝑥 + 52 = 33 + 1 h) 73 + 𝑥 = 45 − 025 11 Transcribe al lenguaje simbólico cada uno de los siguientes enunciados. i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. ix. x. ¿Qué número elevado al cuadrado es veinticinco?............................................................... ¿Treinta y seis es el cuadrado de que número?.................................................................... Si la superficie de un cuadrado es de 9𝑐𝑚2 . ¿Cuánto mide su lado?.................................... Si el volumen de un cubo es de 64𝑐𝑚3 . ¿Cuánto mide su arista?......................................... ¿Cuál es el número tal que su cuadrado es 9 y su cubo 27?................................................. ¿Qué medida tendrá la arista de un cubo si se sabe que su volumen es de 1000𝑐𝑚3 ?.............................................................................................................................. En un patio cuadrado hay cien baldosas. ¿Cuántas baldosas hay en el largo y el ancho?................................................................................................................................... Si la superficie de un cuadrado es de 144𝑐𝑚2 . ¿Cuánto mide su lado?............................... Si el volumen de un cubo es de 216𝑐𝑚3 . ¿Cuánto mide su arista?....................................... ¿Cuál es el número tal que su cuadrado es 121 y su cubo 1331?....................................... 18 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Otras propiedades de la potenciación: Estas propiedades se profundizarán más en segundo año. Escribe de cada una de dos a tres ejemplos que verifiquen dichas propiedades.  En un Producto (Multiplicación) de potencias de igual base, se suman los exponentes: 𝑎𝑛 . 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚  En un Cociente (División) de potencias de igual base, se restan los exponentes: 𝑎𝑛 : 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚  En una Potencia de Potencia se multiplican los exponentes: (𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛.𝑚 12 Une con flechas aquellas expresiones que sean equivalentes. (2.3)3 (2 + 3)5 (24 )3 32 . 34 (11 + 4)4 56 (6.5)2 (7 − 3)3 74 : 72 (25 − 15)3 (10: 5)2 25 + 35 62 . 52 73 − 33 74−2 (10)3 23 . 33 24.3 102 : 52 32+4 (15)4 65 “Yo soy aquí en mi un ser capaz, yo poseo capacidades y aptitudes para desarrollar todo en mi vida de manera rápida y fácil, disfrutando del proceso” Radicación: Observa cada situación problemática y trata de resolverla con los conocimientos aprendidos… Si deseas puedes hacer un esquema de la situación para visualizarla mejor. Situación 1: Un granjero desea alambrar un corral para sus caballos, y sabe que la superficie del mismo es de 400 m2 y de forma cuadrada. Para ello necesitará saber en principio cual es la medida cada lado de la parcela. ¿Qué medida tiene cada lado del corral? Situación 2: Un bloque de hielo con forma de cubo tiene un volumen de 8cm 3. ¿De cuántos cm es su arista? Soluciones: Situación 1:  La superficie de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado la medida del lado del mismo, en consecuencia: si el corral debe tener una superficie de 400 m 2; entonces resulta que: L2 = 400 m2. De modo que deberíamos buscar un número que elevado al cuadrado dé como resultado 400, el número que reúne tal condición es el 20, por lo tanto: (20m)2 = 400 m2 Luego la longitud del lado del corral es de 20 metros. Situación 2:  El volumen de un cubo se calcula elevando al cubo la medida de la arista del mismo, en consecuencia: si el cubo tiene un volumen de 8 cm 3, entonces resulta que: a3 = 8 cm3. De manera que deberíamos encontrar un número que elevado al cubo dé como resultado 8, en tanto el número buscado que reúne dicha condición es el 2, entonces: (2cm) 3 = 8cm3 Luego la longitud de la arista del cubo de hielo es de 2 centímetros. 19 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. En efecto:  Encontrar un número que elevado al cuadrado dé 400, es hallar la “Raíz Cuadrada” de 400, en símbolos es: √400 = 20.  Determinar un número que elevado al cubo dé 8, es hallas la “Raíz Cubica” de 8, en 3 símbolos es: √8 = 2. Conclusión: La operación que hemos utilizado para resolver las situaciones anteriores se denomina: “RADICACIÓN”. 4 ELEMENTOS DE UNA RAÍZ: Suponiendo que se tiene: √16; Se lee: “Raíz Cuarta de 16”, dónde 𝑛 el 4 es el índice de la raíz y 16 el radicando. En términos generales, en la expresión: √𝑎 Se dice que “n” es el índice de la raíz y “𝑎” el radicando de la raíz. Definición: Se llama Raíz ene-sima del número “𝑎” al número “𝑏”, tal que “𝑏” elevado al exponente 𝑛 “𝑛” es igual al número “𝑎”. En símbolos: √𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏 𝑛 = 𝑎 NOTA: Si el índice de la raíz es dos (2), no se coloca, es decir que, √𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑏 2 = 𝑎 Reglas de la Radicación: 𝑛  La raíz ene-sima de uno, es siempre igual a uno: √1 = 1 ↔ 1𝑛 = 1 𝑛  La raíz ene-sima de cero, es siempre igual a cero: √0 = 0 ↔ 0𝑛 = 0 “Que nada ni nadie detenga tus deseos de soñar y cumplir esos sueños” TRABAJO PRÁCTICO N°4 Ejercicio N° 1: Hallar las siguientes raíces en cada caso: a. √4 = f. √256 = c. √36 = h. √27 = e. √196 = j. b. √9 = d. √144 = 3 g. √361 = l. p. √729 = 3 7 √1331 = q. √128 = 4 3 i. 6 k. √343 = 3 m. √16 = √216 = o. √32 = 3 r. √512 = 4 4 n. √81 = √64 = s. √10000 = 5 3 5 √243 = t. Ejercicio N° 2: Resolver los siguientes cálculos combinados: a. 32 + 2(5 − 2) − √81 = 6 9 d. 71 − 010 + √64 − 112 + √1 = 3 4 b. (4 + 1)2 − 50 − (√144 − √27) = e. √0 + √5 + 4 + 32 (31 − 27) = 5 c. √32 + 2(5 − 2)3 − √169 = f. 3 √36 − 9 + 2(9 − 6)3 − 125 + 0100 = En matemáticas, como hemos visto en algunas ocasiones es muy usual expresar diferentes situaciones problemáticas de modo simbólico, como así también reglas y propiedades para llegar a una generalización de determinados conceptos, e incluso para simplificar la escritura y escribir de manera reducida. Por ejemplo: Cuando nos referimos a una cierta cantidad y/o número cualquiera, escribimos: “𝑥” u otra letra que representa dicha cantidad. Si queremos expresar el doble de algo, escribimos: “2𝑥” Para decir la quinta parte de algo, escribimos: “𝑥:5” En el caso de querer decir el consecutivo de un número, escribimos: “𝑥 + 1” 20 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Si por ejemplo deseamos indicar el anterior de un número, escribimos: “𝑥 − 1” Si deseáramos expresar el cuádruple del antecesor de un número, escribiremos; 4. (𝑥 − 1) Si en cambio quisiéramos decir el cuadrado de un número; 𝑥 2 El cubo de un número disminuido en el cuádruple de once: 𝑥 3 − 4.11 La séptima parte de un número más el doble del consecutivo del mismo: 𝑥: 7 + 2(𝑥 + 1) Ejercicio N° 3: Expresa de modo simbólico los siguientes enunciados: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. El siguiente de un número:…………………………………………………….……..………. El antecesor de un número:…………………………………………………….…..………… La suma de un número y catorce:……………………………………………………………. Un número disminuido en siete unidades:……………………………………….…………. Un número aumentado en trece unidades:…………………………………..….…….……. El triple de un número:……………………………………………………………..…….……. La mitad de un número:………………………………………………………….…….……… La tercera parte de doce aumentado en el siguiente de un número:…………………….. Un número más su consecutivo:………………………………………………….…….……. El doble de un número aumentado en quince unidades:…………………………….……. La mitad de un número disminuido en veintitrés unidades:………………………………. El cuadrado de un número disminuido en el triple de siete……………………….………. El doble del siguiente de un número:…………………………………………….…….……. Ejercicio N°4: Une con flechas aquellas expresiones equivalentes: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. Un número aumentado en 8 unidades El cuadrado de un número disminuido en 3 unidades La mitad del siguiente de un número El triple de un numero disminuido en quince unidades Un número disminuido en 3 unidades El doble del siguiente de un número La sexta parte de un número disminuido en 15 unidades El doble de un número aumentado en quince unidades La raíz cuadrada de un número La raíz cúbica de un número Ejercicio N° 5: Plantea cada ecuación y luego resuelve cada una: (𝑥 + 1): 2 𝑥−3 √𝑥 3𝑥 − 15 2(𝑥 + 1) 𝑥: 6 − 15 𝑥2 − 3 2𝑥 + 15 3 √𝑥 𝑥+8 a. Un número aumentado en diez unidades da por resultado 35. ¿Cuál es número? b. La edad de Julieta es el doble de cinco, más la raíz cuadrada de cuatro. ¿Qué edad tiene Julieta? c. La diferencia entre un número y siete es dieciocho. ¿De qué número se trata? d. La suma entre un número y 28 es cincuenta. ¿De qué número se trata? e. El cuadrado de un número aumentado en 5 unidades es treinta. ¿Cuál es el número? f. El doble del siguiente de un número es equivalente al cubo de cinco disminuido en el cuadrado de uno. ¿qué número cumple con tal condición? g. La diferencia entre un número y catorce es el cubo de dos. ¿Cuál es el número? h. La tercera parte de un número disminuido en cinco unidades es quince. ¿De qué número se trata? Ejercicio N° 6: Desarrolla cada ecuación y encuentra el valor de “𝑥”: e. 𝑥: 2 − 3 + 17 = 100 a. 𝑥 + 2 = √9 f. 2(𝑥 + 1) = 10 b. 𝑥 − 5 = 40 + 51 g. √𝑥 − 5 = 22 c. 2𝑥 + 1 = 22 + √25 d. 3𝑥 + √4 = 23 h. 𝑥 2 + 1 = 5 21 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Ejercicio N° 7: Lee atentamente, plantea, resuelve y luego responde: i. ii. iii. iv. v. vi. ¿Cuál será la superficie de un cuadrado si su lado mide 14 cm? ¿Qué dimensión tendrá la superficie de un cuadrado si la medida de su lado es 24 cm? ¿Cuántos cuadrados son necesarios para armar un cubo? Considere un cubo de 1331 cm3. Determinar: 1) la medida de su arista. 2) la superficie de cada una de las caras Para armar un cubo con una arista de 5 cm se emplearon 150 cm 2 de una cartulina. ¿Es verdad? ¿Cómo lo justificarías? Si se emplearon 96 cm2 de un cartón para construir un cubo. ¿Qué dimensiones tienen las caras del cubo? ¿Cuál es el volumen del cubo? “Los intersticios en el camino pueden ser de los más variados y diversos, aprende a superarlos y serás un hábil transeúnte” 22 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. TRABAJO PRÁCTICO N° 5 1. Calcula las siguientes Potencias y Raíces: a) 122 = g) 36 = c) 73 = i) 112 = b) 142 = h) 27 = d) 93 = 6 c. (12 − 3)2 = k. (24 ∶ 3)4 = 3 f. (14 + 4) = g. (6 + 6)2 = 3 h. (13 + 1) = 5 w) √1024 = 7 x) √0 = r) √1 = i. (5 + 9 − 4)2 = e. (54 − 23) = 5 v) √243 = 3 a. (2 + 3)2 = 2 4 q) √216 = 2. Resuelve cada calculo: d. (49 − 19)2 = u) √256 = 3 l) 980 = b. (5 + 4)3 = o) √225 = 4 t) √81 = p) √125 = k) 341 = f) 45 = s) √512 = n) √169 = j) 020 = e) 54 = 3 m) √36 = 3 q. √19 + 8 = j. (9 . 2)3 = 3 r. √425 + 87 = 3 s. √1001 + 330 = l. (49 ∶ 7)2 = t. m. √10 − 1 = √1296 − 671 = 3 u. √125 . 8 = n. √100 − 19 = v. √36 . 16 = o. √25 − 16 = p. √16 + 9 = 4 3 w. √27 . 8 = 3 3. Potencias y raíces especiales, (Ver reglas y propiedades): x. √216 ∶ 27 = a) (5 + 4)1 = f) (2 . 1)1 = k) (42 ∶ 42)20 = c) (38 + 4)1 = h) (48 . 0)1 = m) (27 ∶ 27)0 = e) (27 + 45)0 = j) (0 . 72)0 = b) (7 − 6)0 = d) (49 − 37)0 = g) (29 . 1)0 = i) (53 . 4)0 = l) (19 ∶ 1)1 = n) (51 ∶ 3)1 = o) (26 − 25)19 = 4. Separa en términos y resuelve, prestando atención en cada operación: a) 32 + 5(21 − 14)3 = e) (42 − 41)1 + (91 − 89)3 = c) (14 − 3)2 − √81 = g) √9. (21 − 15)2 −3(12-9)= b) 52 + 2(5 − 3)2 = f) √169 + (32 − 29)2 = d) (24 − 8)2 + √196 = h) 7 . 5 + 2 . 33 − 15 ∶ 3 = 23 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. 5. Separa en términos y resuelve cada calculo combinado: a. 62 + 5(21 − 14) − √169 + 40 = 3 3 1 b. (8 + 2) − 24 − (√256 − √343) = 6 9 8 c. 271 − 027 + √64 − 132 + √1 + √0 = 3 2 (10 d. √112 + 13 + 5 1 0 e. √1 + (10 + 4) − (9 − 4) = c. 25 + 2𝑥 = 52 + 7 f. 2𝑥 − √25 = 113 3 7 b. 𝑥 − 27 = 32 e. 𝑥 + √196 = 83 f. (19 − 4)2 − 141 − (√400 − √8) = 3 a. 53 + 𝑥 = 44 d. 3𝑥 − 92 = √144 − 3) − 59 = 0 6. Resuelve las siguientes ecuación: 3 10 g. 𝑥 − √27 = 021 + √1 12 g. 731 − 073 + √729 − 125 + √1 + √0 = 3 h. 5𝑥 − 63 = √64 “Por mas insondable que parezca el camino, confía en ti mismo siempre, no lo dudes” 24 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Comprendiendo la Naturaleza de los Números Naturales: Los Números Naturales forman un conjunto extenso (si bien tiene un primer elemento – el 1, uno – no tiene un último elemento) y discreto (porque entre dos números naturales puede haber una cantidad contable de números) y como tal pueden clasificarse o agruparse en sub conjuntos según ciertas características, por ejemplo en: “Múltiplos” y “Divisores”, “Pares” e “Impares”, “Compuestos” y “Primos”. Múltiplos: Se dice que un número es múltiplo de otro cuando éste (el primero), “lo contiene una cierta cantidad de veces al otro”, (al segundo) Ej. 20 es múltiplo de 10, pues el 20 lo contiene dos veces al 10, es decir que: 20 = 2.10 55 es múltiplo de 11, pues el 55 lo contiene cinco veces al 11, es decir que: 55 = 5.11 Divisores: Se dice que un número es divisor de otro cuando éste (el primero), divide al otro (al segundo) de modo que el cociente es entero y el resto cero. Ej. 7 es divisor de 21, pues 7 divide a 21, es decir que: 21: 7 = 3 15 es divisor de 75, pues 15 divide a 75, es decir que: 75: 15 = 5 Números pares: Son todos aquellos que pueden dividirse por dos, o dicho de otro modo todos los múltiplos de dos, a excepción del cero que no es par, ni tampoco impar. Decimos que: “𝑛” es par si y solo si, 𝑛 = 2. 𝑥; siendo “𝑥” un Número Natural. ∀ 𝑥 ∈ |N, ∃ 𝑛 𝜖 |N  𝑛 ≠ 0 / 𝑛 = 2. 𝑥 Ej. 2; 4; 34; 102; 3190…. Números Impares: Son todos aquellos números que no se pueden dividir por dos. Ej. 1; 3; 17; 2875… Números Primos: Se dice que un número es “Primo” cuando tiene sólo dos divisores, el uno (1) y él mismo. Ej. 2; 3; 5; 7… Números Compuestos: Aquellos que tienen más de dos divisores. Ej. 4; 6; 9; 10; 21… Actividad: ¿Qué podrías decir acerca de la siguiente lista de números? 12 – 23 – 24 – 31 – 9 – 11 – 17 – 102 – 5 – 49 – 61 – 27 – 36 – 42 CRIBA DE ERATOSTENES: Éste es un algoritmo que permite saber y hallar todos los números naturales primos menores que uno dado. Para ello se procede a realizar una tabla y colocar en cada casillero un número, luego se irán tachando ciertos números siguiendo un patrón determinado. En éste caso efectuaremos la tabla para encontrar los números primos menores que 101. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 Para desarrollar la siguiente unidad temática es necesario que investiguen ó averigüen los: “Criterios o Reglas de Divisibilidad”, es aconsejable tener aunque sea las que van desde el 2 hasta el 11 inclusive. 25 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Factorización y Descomposición de Números: Factorizar un número significa poder expresarlo como el producto (multiplicación) de números primos, o de potencias cuyas bases son números primos. Por ejemplo: consideremos el número 60, éste número puede descomponerse de diferentes formas hasta llegar a su expresión como un producto de factores primos. 2 4 20 60 5 2 3 60 = 2.2.3.5 3 15 60 5 4 2 2 2 60 = 2.2.3.5 4 12 2 60 3 5 60 = 2.2.3.5 60 2 30 2 15 3 5 5 1 60 = 2.2.3.5 = 22.3.5 Técnica de Factoreo con Números Primos 4 = 2.2 = 22 6 = 2.3 12 = 2.2.3 = 22 . 3 210 = 2.3.5.7 360 = 2.2.2.3.3.5 = 23 . 32 . 5 Otros ejemplos pueden ser: Como hemos observado un número natural puede comenzar a descomponerse de diferentes maneras, pero admite una única factorización como producto de números primos, para ello se empleará la Técnica de Factoreo, de ese modo se podrá contabilizar con exactitud cuáles son los factores y cuantos hay de cada uno. Es recomendable comenzar por el más pequeño de los factores primos (2; 3; 5, etc…) y luego ir probando con valores más elevados, pero siempre teniendo en cuenta únicamente aquellos que sean primos, NO PUEDE HABER NÚMEROS COMPUESTOS EN UNA FACTORIZACIÓN. Es muy útil y recomendable conocer los Criterios de Divisibilidad. Ejercicio N°1: Factorizar los siguientes números: a) 24 = f) 112 = k) 1204 = p) 1225 = b) 27 = g) 270 = l) 1572 = q) 385 = c) 45 = h) 225 = m) 5325 = r) 422 = d) 49 = i) 301 = n) 735 = s) 101 = e) 72 = j) 98 = o) 648 = t) 1024 = Ejercicio N°2: Lee, Plantea, Resuelve cada situación problemática y luego responde: a) Un robot al encenderse prende todas sus luces de colores, luego las rojas prenden cada 6 segundos, las azules cada 9 segundos y las amarillas cada 12 segundos. ¿En qué momento prenden las rojas y las azules a la vez? ¿Cuándo las amarillas y las rojas prenden a la vez? ¿Cuándo prenden las azules y amarillas juntas? ¿En qué momento se prenden todas las luces? b) Como parte de un programa sanitario, tres profesionales de la salud visitan periódicamente una comunidad de una zona rural. El médico va cada 10 días, el odontólogo cada 15 días y la enfermera cada tres días. Hoy sucedió que los tres se encontraron allí. ¿Volverán a coincidir en este mes? ¿Y el próximo mes? c) En una calle se colocan tachos de basura y faroles. Los tachos se colocaron cada 24 metros y los faroles cada 40 metros. Si se comenzó colocando un tacho y un farol juntos. ¿Cada cuántos metros coincidirán nuevamente ambos elementos? 26 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. M.C.M.: Mínimo Común Múltiplo. Hallar el M.C.M. (Mínimo Común Múltiplo) entre dos o más números significa encontrar un número que sea múltiplo de los números dados y a su vez sea el menor de todos los existentes. Por ejemplo:     El M.C.M. entre: 3 y 4, es 12 El M.C.M. entre: 3 y 6, es 6 El M.C.M. entre: 2; 3 y 5 es 30 El M.C.M. entre: 4; 5; 7 y 9 es 1260 Para encontrar el M.C.M. entre dos o más números dados se procede del siguiente modo: 1. Factorizar los números dados. 2. Elegir los números (potencias) que se repiten y no repiten (factores comunes y no comunes) con su mayor exponente. 3. Multiplicar entre si los factores (las potencias) del punto anterior. Por ej.: Hallar el M.C.M. entre 110 y 150. 1° Paso Factorizar: 110 = 2.5.11  150 = 2.3.52  el M.C.M. (110; 150) = 1650 2° Paso Elección: 2; 3; 52 y 11 3° Paso Multiplico: 2.3.52.11 = 6.25.11 = 150.11 = 1650 Ejercicio N° 3: Hallar el M.C.M. entre los siguientes pares y ternas de números: a. (21; 15) = b. (18; 10) = c. (25; 20) = d. (50; 75; 100) = e. (12; 18; 24) = f. (9; 27; 45) = Ejercicio N° 4: Lee, Plantea, Resuelve cada situación problemática y luego responde: a. Andrés tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más largos posible. ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá? b. En un mercado se han comprado 24 kilogramos de limas y 30 kilogramos de manzanas. Para la venta se fraccionan en bolsas que contengan una sola clase de frutas. ¿Cuál es la mayor cantidad de kilogramos que puede contener cada bolsa, si todas deben tener el mismo peso, Cualquiera sea a fruta envasada? ¿Cuántas bolsas de cada clase de fruta se pueden armar? c. Un pastelero debe despachar 150 tortas y 315 budines empleando el menor número posible de bandejas que contengan varias tortas y budines cada una. En cada bandeja debe haber solo tortas o solo budines, y todas deben contener la misma cantidad de unidades. ¿Cuántas unidades debe contener cada bandeja? ¿Cuántas bandejas de tortas y budines habrá? d. Un granjero desea dividir en parcelas cuadras un campo cuyas dimensiones son: 300 metros por 180 metros de modo que éstas tengan la mayor superficie posible. ¿Cuáles son las dimensiones de las parcelas? M.C.D.: Máximo Común Divisor. Hallar el M.C.D. (Máximo Común Divisor) entre dos o más números significa determinar un número que sea divisor de los números dados y a su vez sea el mayor de todos los existentes. Por ejemplo:       El M.C.D. entre: 12 y 10, es 2 El M.C.D. entre: 6 y 3, es 3 El M.C.D. entre: 20 y 15 es 5 27 El M.C.D. entre: 28; 42 y 56, es 14 El M.C.D. entre: 12 y 13, es 1 El M.C.D. entre: 7 y 24, es 1 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Para encontrar el M.C.D. entre dos o más números dados se procede del siguiente modo: 1. Factorizar los números dados. 2. Elegir solo los números (potencias) que se repiten (factores comunes) con su menor exponente. 3. Multiplicar entre si los factores (las potencia) del punto anterior. Por ej.: Hallar el M.C.D. entre 110 y 150. 1° Paso Factorizar: 110 = 2.5.11  150 = 2.3.52  el M.C.D. (110; 150) = 10 2° Paso Elección: 2 y 5 3° Paso Multiplico: 2.5 = 10 Ejercicio N° 5: Hallar el M.C.D. entre los siguientes pares y ternas de números: a. (21; 15) = c. (25; 20) = e. (12; 18; 24) = b. (18; 10) = d. (50; 75; 100) = f. (9; 27; 45) = NOTA: En el caso en el que se desee averiguar el M.C.D. entre dos o más números y no sea posible identificar factores comunes entre los números dados al factorizarlos, diremos que el M.C.D entre ellos es el 1 (UNO). Por ende estos números se dicen que son COPRIMOS entre sí. Por ej.: Hallar el M.C.D. (144; 385) = 1°.- 144 = 24.32  385 = 5.7.11  el M.C.D. (144; 385) = 1 2°.- No hay factores comunes. Ejercicio N° 6: Determinar el M.C.M. y M.C.D. entre los siguientes pares y ternas de números: a. (9; 18) = d. (22; 17) = g. (12; 15; 60) = b. (36; 72) = e. (7; 14; 35) = h. (14; 21; 27) = c. (15; 20) = f. (8; 12, 24) = i. (25; 60; 150) = Ejercicio N° 7: Completa las tablas, marcando con una “𝑥” (cruz), los divisores de cada número. Número 24 30 36 51 165 45 100 101 231 125 3000 121 2 3 4 5 6 28 7 8 9 10 11 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Ejercicio N° 8: Interpreta cada enunciado y responde justificando. a. Proponer un número que sea divisible por: 2; 3 y 5:………………………………………………… b. Proponer un número que sea divisible por: 3; 4 y 5:………………………………………………… ¿Ese número es divisible por 2?........................... ¿Y por 6?................................................. c. El número 360, es divisible por los números:………………………………………………………… d. El número 711, es divisible por los números:………………………………………………………… e. El dos divide a los números……………………………………………………………………………. Ejercicio N°9: Completa cada uno de los siguientes números con la cifra que falta, para que sea. a. 2 3 _ : divisible por 2. e. 5 _ 1 2 : divisible por 3 y 4. b. 1 _ 1 : divisible por 3. f. 9 5 _ 3 : divisible por 3 y 9. c. 1 5 _ 9 : divisible por 9. g. 5 3 2 _ : divisible por 6. d. 3 1 5 _ : divisible por 5. h. 5 3 2 _ : divisible por 10. Ejercicio N° 10: Responde con Verdadero (V) o Falso (F) y justifica cada respuesta. a. 105; es divisible por 3 y 5. c. 1236; es divisible por 4; 5 y 6. b. 310; es divisible por 2; 3 y 10. d. 4021; es divisible por 6. “No es que sea bueno ó malo aquello que pasa por tu mente, sino lo que tú decides hacer con ello, recuerda que son sólo tus pensamientos y debes con ellos fluir” 29 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. EVALUACION MODELO: A. Un juguete cuando se enciende prende todas sus luces de colores, luego las rojas prenden cada 9 segundos, las azules cada 15 segundos y las amarillas cada 10 segundos. ¿En qué momento prenden las rojas y las azules a la vez? ¿Cuándo las amarillas y las rojas prenden a la vez? ¿Cuándo prenden las azules y amarillas juntas? ¿En qué momento se prenden todas las luces? B. Resuelve las siguientes sumas algebraicas con cálculos combinados: 32 + 4(7 − 5) − √40 − 4 = 3 3(6 − 2) − √59 + 5 + 25 = i. ii. iii. iv. 72 − 3.4 + (31 + 8): 3 + 014 = 3 4(3 + 12) − √135 + 81 − 23 = iii. iv. 𝑥 − 250 = 117 + √121 3 5𝑥 − 3 = √343 C. Determinar el valor de “𝑥”: 𝑥 + 16 = √64 + 111 3 2𝑥 − 1 = √125 i. ii. D. Completa la siguiente tabla, marcando con una “𝑥” (cruz) los divisores de cada número: Número 70 135 99 126 2 3 4 5 6 8 9 10 11 E. Responde Verdadero (V) o Falso (F), justifica cada respuesta: i. 120; es divisible por 2 y 5. iii. 84; es divisible por 6 y 8. ii. 92; es divisible por 6. iv. 55; es divisible por 5; 6 y 11. “El primer paso nunca te lleva a donde deseas ir, pero te saca de donde estas” LECCIÓN DEL DÍA MODELO: 1 2 3 Resuelve los siguientes cálculos combinados: a. 121: 11 + √16 − 23 + 70 = b. 11.2 − √25 + 32 − 17 = Determinar el valor de “𝑥”: a. 2𝑥 + 6 = √36 + 22 Determinar el M.C.M. y M.C.D. entre (18; 24) b. 𝑥 − √81 = 42 − √9 “La felicidad siempre nace en lo más profundo de nuestro ser, encuéntrala y serás cada día un poco más feliz” 30 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE NÚMERO RACIONAL (FRACCIONES): Lee cada situación problemática, plantea, resuelve y luego responde: I. Barby tiene veintiocho flores y desea colocarlas en tres floreros diferentes y que éstos contengan la misma cantidad de flores. ¿Cuántas flores tendrá cada florero? ¿Queda alguna flor sola? II. Mariano tiene cuarenta y siete autitos y desea guardarlos en cuatro cajas de modo que éstas contengan la misma cantidad de autitos. ¿Cuántos autitos guardará en cada caja? ¿Le queda algún autito fuera de las cajas? III. Aarón compró 14 chocolatines para repartir entre él y sus tres hermanos. ¿Cuántos chocolatines le correspondió a cada uno? ¿Le alcanza para convidarle a su padre y su madre? IV. Toma un papel cualquiera y dóblalo a la mitad. ¿Qué nombre recibe cada parte? Luego dobla la mitad a la mitad. ¿Cómo se llama cada parte? Ahora dobla el papel a la mitad, la mitad de la mitad. ¿Cómo se denomina cada parte? V. Toma otro papel y dóblalo en tres partes ¿Qué nombre recibe cada parte? Luego dóblalo a la mitad, de manera que quedarán marcadas seis partes al desplegar el papel. ¿Cómo se denomina cada porción? VI. Los estudiantes de primer año, de un determinado colegio secundario, consideran que debido a la gran cantidad de integrantes que tiene la comunidad educativa (Docentes, no docentes y estudiantes en general) es necesario informar de todas las novedades que ocurren en él. Por tal motivo han decidido comenzar a editar un “Boletín Informativo” que lo repartirán entre todos los miembros de la comunidad. El boletín consta de una hoja de ambos lados, es decir dos carillas. A. La carilla frontal estará diagramada del siguiente modo: media página se destina a una nota de interés general, un cuarto contendrá información sobre concursos de diferentes áreas, un octavo tendrá frases y/o aforismos. La parte restante contendrá una caricatura. ¿Qué parte de la página ocupa la caricatura? B. En el anverso del boletín se conforma de la siguiente manera: dos cuartos están constituidos por información acerca de nuevas modalidades, estilos y filosofías de vida, un octavo contiene agradecimientos de quienes han participado en él, otro octavo se dedicará a una poesía y el resto informará sobre jornadas de recreación, olimpiadas de diferentes áreas y torneos deportivos. ¿Qué parte se destina del total a esta última sección? Frente Anverso VII. La cartelera de entrada del colegio tiene diferentes mensajes, y su distribución se establece de la siguiente manera: Un tercio, expresa las efemérides. - Un sexto, contiene información sobre mesas de examen adicionales. - Dos sextos, se componen de temas relacionados con normas de convivencia y modos de abordar determinadas situaciones dentro del ámbito escolar. - El resto será ocupado con información que cada curso desee exponer. ¿De qué parte se trata?. Realice un esquema para modelo de la situación. 31 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Análisis de las situaciones problemáticas planteadas: En las situaciones I y II; podemos observar que al efectuar las divisiones (Cocientes) el resto es cero, con lo cual se verifica que se trata de “Divisiones Enteras ó Exactas”. En la situación III; no ocurre lo mismo que en las otras, pues el resto no es cero. Luego en las situaciones IV y V; se trabaja con material concreto y se efectúa el reconocimiento de cada una de las porciones que resultan de particionar un entero en partes iguales. En las situaciones VI y VII se hace referencia a una partición de un todo. Veamos entonces como podemos expresar dicha partición empleando una expresión matemática, es decir, un “Número”. 1 La expresión: ó 1⁄2, significa que del todo se selecciona una parte de las dos en las 2 que se ha dividido éste. Se lee: “Un Medio”. 1 La expresión: ó 1⁄4, significa que se ha seleccionado una parte de las cuatro en las que 4 se ha divido el entero. Se lee: “Un Cuarto”. 3 La expresión: ó 3⁄8, significará entonces que algo se ha dividido en ocho partes de esas 8 se han de seleccionar tres. Se lee: “Tres Octavos”. La expresión:……….…, significa que el todo se ha dividido en diez partes y se han seleccionado siete. Se lee: “Siete Décimos”. La expresión:………….., significa que el todo se ha de dividir en cinco partes, de las cuales se seleccionan dos. Se lee: “…………………………………………………………………” La siguiente expresión….…………, significa que el todo se ha dividido en:.............................……… partes de las cuales se han de seleccionar: ……………………………… Se lee “Cinco Novenos”. Estás expresiones “Nuevas” se denominan FRACCIONES, el número de arriba o primero se llama NUMERADOR, e indica la cantidad que se selecciona y/o toma, mientras que el número de abajo o segundo se llama DENOMINADOR, e indica las partes en las cuales se debe o se ha de dividir al entero. 𝐹𝑅𝐴𝐶𝐶𝐼Ó𝑁: 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 5  𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 9 Definición: “Una Fracción o Número Racional (ℚ): Es el cociente5 entre dos números enteros”. Una Fracción puede expresar:     Una división, es decir un cociente, que puede ser o no entera. Parte de un todo. Una Probabilidad. O como un operador. ACTIVIDADES: Representación y Reconocimiento de Fracciones con material concreto: Para desarrollar esta actividad necesitaremos recortar cuadrados de 10 centímetros por 10 centímetros (puede ser papel de diario, revista, etc…) ó bien traer papel Glasé. Además necesitaremos cuadrados de 9 centímetros por 9 centímetros. Representar las fracciones: 1 1 2 3 1 3 7 9 1 2 4 2 4 5 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 4 4 4 8 8 8 16 3 3 6 6 9 9 5 Así se denomina a la operación “División” 32 Matemática I VIII. Prof.: ERMALIUK Hernán N. Completa el siguiente cuadro según sea la indicación: Fracción Se lee, en letras ¾ Tres cuartos Representación grafica Parte sin seleccionar Dos quintos Un quinto 3 7 Tres sextos Siete Novenos Cinco octavos Siete octavos 4 9 Nueve Decimos 33 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES: Existen varias clases de fracciones sin dejar de representar a un número racional o bien identificarse con algún punto de la recta numérica y según donde se ubiquen o sean se clasifican en:  FRACCIONES PROPIAS: Son aquellas en las cuales el numerador es menor que el 1 1 2 7 6 denominador. Por ej.: ; ; ; ; ; …. 2 3 5 10 11  FRACCIONES IMPROPIAS: Son aquellas en donde el numerador es mayor que el 3 4 6 11 15 denominador. Por ej.: ; ; ; ; ; …. 2 3 5 10 11  FRACCIONES APARENTES: en esta ocasión el numerador y el denominador son iguales, 2 3 10 70 11 8 12 ó bien el numerador es múltiplo del denominador. Por ej.: ; ; ; ; ; ; …. 2 IX. X. 3 5 10 11 2 4  FRACIONES MIXTAS: La particularidad de estas es que están compuestas por un número 1 1 2 7 6 entero y una fracción. Por ej.: 1 ; 2 ; 3 ; 1 ; 4 ; …. 2 3 5 10 11 En grupos de 4 (cuatro) integrantes armar láminas o afiches con la clasificación de las fracciones con algunos ejemplos. Clasifica las fracciones siguientes ubicándolas en el cuadro según corresponda: Propias 1 5 2 3 1 5 7 5 7 3 4 2 4 11 ; ; ; ;3 ; ; ; 2 ; ; ; 1 ; ; ; 2 4 3 4 8 8 7 6 3 3 7 5 9 9 Impropias Mixtas Aparentes Transformación de una Fracción MIXTA a IMPROPIA: Transformación de una Fracción IMPROPIA a MIXTA: Supongamos que tenemos siguiente fracción 2 1/3 y deseamos expresarla como una fracción impropia: Supongamos que tenemos la fracción 15/11, la cual deseamos expresarla como una fracción mixta: Para ello seleccionaremos el denominador de la misma: Luego multiplicaremos ese denominador por el número entero (“el grande”) y le sumaremos el numerador. Finalmente se obtiene que: Transforma a Fracción Impropia: 1 4 2 1 ;2 ;3 2 7 5 1 2 3 Para ello efectuaremos el algoritmo de la división, efectuando la división como corresponde: 3 Una vez efectuada la división, sin agregar ceros o comas, procederemos a armar el número Mixto 3.2 + 1 3 15 15 4 El número del cociente es la parte entera, el resto es el numerador de la fracción y el divisor es el denominador de la misma. 1 7 2 = 3 3 Transforma a Fracción Mixta: 34 7 4 11 ; ; 2 3 5 15 11 11 11 1 1 4 11 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Expresión decimal de una fracción: Para obtener la expresión decimal de una fracción simplemente se efectúa la división entre del numerador con el denominador, recuerden que una fracción indica un cociente, pero como no es entero por lo general se lo expresa de ese modo. 2 9 7 1 Por ej.: = 0,4  = 1,125  = 2,3333 …  = 0,25 5 XI. 8 3 4 Obtener la expresión decimal de las siguientes fracciones. i. ii. 8 4 5 = 10 iii. 6 iv. 36 v. 3 9 = 27 75 75 vii. = 48 100 vi. 100 175 viii. = 25 72 ix. = 10 95 x. 25 = = = = = xi. 55 xii. 13 15 7 xiii. 25 xiv. 15 20 12 26 xv. 14 = = = = = ¿Cuáles de las fracciones anteriores tienen o le corresponde la misma expresión decimal? XII. Une cada expresión decimal con su fracción correspondiente: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 1,25 2,667 0,6 0,2626… 1,4 0,25 0,33333…. 0,66 2,66666…. 1,24 0,2525… i. 3 ii. 7 iii. 2 5 5 6 vi. 5 vii. 2 viii. 25 = = = iv. 24 v. 15 9 12 = ix. = x. 4 8 = = 99 6 10 31 25 = = = FRACCIONES EQUIVALENTES: Se define a una fracción Equivalente a otra la cual representa a una misma fracción pero con otros números, como hemos visto con anterioridad al trabajar con material concreto. Por ejemplo: Para completar: 2 4 3 1 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: ; ó 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎: ó 4 8 6 2 1 2 3 4 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: ; ó 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎: ó 3 6 9 12 8 12 16 4 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: ; ó 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎: ó 10 15 20 5 7 4 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: ; ó 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎: ó 2 ; ó 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎: ó 6 12 Existen dos métodos simples y sencillos para obtener Fracciones Equivalentes: ellos son por AMPLIFICACIÓN y SIMPLIFICACIÓN. 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: 35 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Fracciones Equivalentes por AMPLIFICACIÓN Fracciones Equivalentes por SIMPLIFICACIÓN Para obtener fracciones equivalentes por Amplificación debemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por un mismo número, dicho número puede ser cualquiera. Para obtener fracciones equivalentes por Simplificación debemos dividir tanto el numerador como el denominador por un mismo número, dicho número tiene que ser divisor de ambos si o si, de lo contrario no es válido. Por ejemplo: 4 2 = = 6 3 5 10 = = 4 8 Por ejemplo: 6 8 10 = = 9 12 15 15 20 25 = = 12 16 20 9 3 1 18 = = = 18 6 2 36 210 105 21 7 = = = 120 60 12 4 Obtener cuatro fracciones equivalentes a las Obtener cuatro fracciones equivalentes a las dadas empleando “La Amplificación”: dadas empleando “La Simplificación” si es posible: 2 a. = 16 3 = a. b. c. d. 2 2 7 3 1 3 = b. = c. = d. FRACCIONES IRREDUCIBLES: 80 40 20 60 60 81 18 = = = Se denomina fracción IRREDUCIBLE a aquella fracción que no puede ser simplificada. En otras palabras y recordando los conceptos aprendidos anteriormente se dice que Numerador y Denominador son “Coprimos”, es decir que el M.C.D. entre ellos es 1 (UNO), de modo que no existe otro número más que el mismo 1 (UNO) que divida a ambos. Por ejemplo: 1 5 17 9 7 25 ; ; ; ; ; ;… 3 7 6 4 11 13 m.c.d. (1; 3) = 1 m.c.d. (17; 6) = 1 m.c.d. (7; 11) = 1 m.c.d. (5; 7) = 1 m.c.d. (9; 4) = 1 m.c.d. (25; 13) = 1 XIII. Simplifica las siguientes fracciones hasta obtener su equivalente de modo que sea irreducible y luego represéntalas de modo gráfico. i. ii. iii. 8 4 5 = 10 6 3 = = iv. v. vi. 36 48 9 27 = = 100 75 vii. viii. = ix. 36 75 100 175 150 6 10 = = = Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. RELACIÓN DE ORDEN EN ℚ: Antes de representar gráficamente una fracción en la Recta Numérica es necesario “reconocer qué tipo de fracción es, es decir si se trata de una fracción; Propia, Impropia, Aparente ó Mixta. Fracción Propia: Fracción Impropia: Fracción Aparente: Fracción Mixta: La característica de éstas fracciones es que al momento de ser ubicadas en la recta se tratara de un punto que estará comprendido entre el 0 (CERO) y el 1 (UNO) 1 3 1 A contrapartida éste tipo de fracción al ser ubicada en la recta se tratará de un punto que se encontrará más allá del 1 (UNO) En éste caso el punto a ubicar será un Número Natural; 1; 2; 3; … En ésta situación podemos interpretar en principio cual es la parte entera y de ahí subdividir el entero que le sigue para su correspondiente ubicación. Ubicamos: ; 2 4 ; 3 3 Ubicamos: ; 2 5 4 ; 2 7 Ubicamos: ; 2 3 8 4 ; 9 1 Ubicar en una misma recta numérica las siguientes fracciones: : ; XIV. 1 4 3 Ubicamos: 1 ; 2 ; 4 2 3 6 2 5 2 3 4 6 ; ; ; ; ;2 2 4 3 4 1 3 1 2 Comparación de Racionales: Al igual que en el Conjunto de los Números Naturales, en el Conjunto de los Racionales podemos establecer relaciones de orden entre dos números dados, es decir, relaciones de;   Igualdad (=) Desigualdad entre ellas tenemos: Mayor que (); Menor que () Entonces: dos fracciones son iguales si representan al mismo número, caso contrario son desiguales. Para reconocer cuando una fracción es mayor o menor que otra o igual en su defecto procederemos del siguiente modo: 3 2 Supongamos que se tienen las fracciones: 𝑦 4; entonces deseamos establecer cuál de ellas es 5 mayor que la otra. Colocamos las fracciones una al lado de la otra y efectuamos la multiplicación cruzada. El numerador de la primera con el denominador de la segunda, y el denominado de la primera con el numerador de la segunda. 2.4 8 3 4 3.5 15 3 5 3 4 7 8 3 4 6 5 5 4 3 5 3 4 7 8 3 4 6 5 5 4 Como 8 es menor que 15 se establece que es menor que 2 3 < 5 4 Finalmente XV. 2 5 3 4 2 5 Compara las siguientes fracciones, colocando: Menor que (), Mayor que (), Igual que (=) a. b. c. 2 d. 1 1 5 f. 2 1 3 5 3 3 4 4 4 5 2 6 e. 5 3 3 4 37 1 2 3 10 1 6 9 4 g. 6 4 h. 1 i. 7 5 5 4 4 2 5 3 3 1 3 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. “Permanecer inmóviles en el constante cambio es abandonarse al pasado” TRABAJO PRÁCTICO N° 6 1. Completa la siguiente tabla según sea la fracción: Fracción Propia Impropia Aparente Mixta 3 4 9 5 4 1 3 2 4 9 11 6 31 13 12 6 2. Obtener fracciones amplificando: i. ii. iii. iv. 2 equivalentes 3. Obtener fracciones simplificando: = 5 9 i. = 5 7 ii. = 4 9 iii. = 7 iv. 45 50 24 36 30 54 equivalentes = = = 120 180 = 4. Ubicar en la recta Numérica las siguientes fracciones: 2 7 3 3 1 8 ; ; ; ; ; 3 4 2 3 2 4 5. Comparar los siguientes pares de fracciones de decidir cuál es mayor, menor o igual a: i. 3 6 iii. ii. 13 14 iv. 5 7 7 9 5 10 v. 11 5 7 vi. 12 11 3 22 5 38 9 5 4 16 4 3 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. 6. Buscar fracciones equivalentes a las dadas de a pares, de modo que ambas tengan el mismo denominador: 2 i. 3 1 ii. 2 5 iii. 3 𝑦 3 𝑦 7 𝑦 9 iv. 4 8 5 1 v. 7 6 7 𝑦 9 𝑦 4 13 vi. 𝑦 5 3 vii. 8 5 8 12 viii. 2 7 5 ix. 15 3 2 𝑦 3 5 𝑦 3 3 𝑦 4 “Ames lo que ames, amalo sin medida, porque el amor sana, el amor bendice, el amor es el mejor regalo que puedes dar” “Suelto y confío… confío en el proceso de la vida, estoy a salvo…” Operaciones con Racionales: Las operaciones que efectuaremos entre Números Racionales son las mismas que hemos desarrollado con los Números Naturales, sólo que en esta ocasión para las operaciones de Adición6 y Sustracción7 el procedimiento no es tan directo como antes. ADICIÓN ENTRE RACIONALES: Para “Sumar” dos o más fracciones en principio hay que asegurarse que sus denominadores sean iguales, en caso contrario, se deberá hallar fracciones equivalentes a las dadas cuyos denominadores sean idénticos. Una vez efectuado este procedimiento se realiza la suma de los numeradores, como si fueran números naturales, colocándose el denominador hallado. Por ejemplo: Otros Ejemplos: 1 2 5 4 5+4 9 + = + = = 2 5 10 10 10 10 28 15 28 + 15 43 7 5 + = + = = 12 12 12 12 3 4 3 5 6 5 6+5 11 + = + = = 4 8 8 8 8 8 XVI. 8 18 8 + 18 26 13 2 6 + = + = = = 12 12 12 12 6 3 4 Resolver las siguientes sumas entre racionales: a. b. c. 6 7 1 2 3 4 7 2 + = 2 d. + = 2 e. + = 5 f. 3 3 3 5 4 7 5 1 2 4 g. + = h. + = 5 9 7 2 5 + + = 3 6 Se denomina así a la operación Suma Se denomina así a la operación Resta 39 i. 1 3 1 2 3 2 1 5 + + = 4 1 6 1 + + = 3 2 4 1 + + + 5 4 3 10 = Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. SUSTRACCIÓN ENTRE RACIONALES: Para “Restar” dos fracciones en principio, al igual que en la Adición, hay que asegurarse que sus denominadores sean iguales, en caso contrario, se deberá hallar fracciones equivalentes a las dadas cuyos denominadores sean idénticos. Una vez efectuado este procedimiento se realiza la resta de los numeradores, como si fueran números naturales, colocándose el denominador hallado. Por ejemplo: 1 1 3 2 3−2 1 − = − = = 2 3 6 6 6 6 XVII. 7 2 7 4 7−4 3 1 − = − = = = 6 3 6 6 6 6 2 18 8 3 18 − 8 − 3 7 3 2 1 − − = − − = = 12 12 12 12 12 2 3 4 45 8 45 − 8 37 9 4 – = – = = 10 10 10 10 2 5 Resolver las siguientes sustracciones entre racionales: a. b. c. d. 7 3 5 2 6 4 9 4 4 − = e. 3 1 − = f. 4 2 − = g. 5 5 h. − = 3 7 6 1 2 2 3 4 3 3 i. − = 4 1 j. − = 5 1 k. − = 2 3 l. − = 4 8 3 4 3 − = − = 5 14 9 20 9 4 3 4 5 − = 4 7 − = 6 A continuación, así como se realizó con los Números Naturales, combinaremos la Adición con la Sustracción, de manera que en este caso es válido el mismo procedimiento desarrollado anteriormente. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN ENTRE RACIONALES: Para “Sumar” y “Restar” fracciones conjuntamente, al igual que en la Adición y Sustracción por separado, es necesario asegurarse que sus denominadores sean iguales, en caso contrario, se deberá hallar fracciones equivalentes a las dadas cuyos denominadores sean idénticos. Una vez efectuado este procedimiento se realiza la suma y resta de los numeradores, como si fueran números naturales, colocándose el denominador hallado al comienzo. Por ejemplo: 4 3 5 4+3−5 2 1 2 1 5 + − = + − = = = 6 6 6 6 6 3 3 2 6 4 2 7 12 10 21 12 − 10 + 21 23 − + = − + = = 5 3 5 15 15 15 15 15 3 5 11 9 10 11 9 + 10 − 11 8 4 2 + − = + − = = = = 4 6 12 12 12 12 12 12 6 3 XVIII. 66 32 28 15 66 − 32 + 28 − 15 47 11 4 7 5 − + − = − + − = = 24 24 24 24 24 24 4 3 6 8 Resuelve las siguientes sumas algebraicas con racionales: a. b. c. 4 3 4 3 1 4 1 2 + − = 2 1 3 d. 2 − + = 2 5 + − 6 3 11 12 = e. f. 2 3 1 3 5 7 + + = 6 1 9 1 + − = 1 3 2 1 g. 4 1 h. 5 + − + = 2 4 40 6 i. 5 6 9 4 9 5 1 1 + − = 2 5 3 7 3 − + − = 3 5 + + 3 6 7 15 8 3 − = 5 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. PRODUCTO ENTRE RACIONALES: Cuando se desea multiplicar dos o más fracciones, se procede a efectuar el producto entre los numeradores por un lado y luego los denominadores por el otro, es decir, que la “Nueva Fracción” tendrá como; numerador, el producto de los numeradores de las otras y denominador el producto de los denominadores de las otras. Por ejemplo: i. 2 5 2.5 ii. 9 4 9.4 ∙ = 3 4 ∙ = 2 7 3.4 2.7 = = 10 12 36 14 = = 5 iii. 2 3 15 18 iv. 1 4 16 3 6 7 ∙ ∙ 5 4 7 2 3 5 ∙ ∙ = 2.3.15 5.4.7 ∙ = 8 = 90 140 1.4.16.3 2.3.5.8 = = 9 14 192 240 = 4 5 Observación: Nótese que en la mayoría de los casos una vez efectuado el producto es posible realizar una simplificación, de esa manera se expresa el resultado con números más simples. XIX. Efectuar el producto entre racionales: 3 2 5 3 6 14 b. ∙ 7 3 1 3 g. ∙ ∙ 14 = d. ∙ ∙ = 7 2 3 3 6 = 1 6 3 5 9 e. 5 ∙ ∙ = c. ∙ = 2 5 2 3 4 5 5 a. ∙ = f. 7 2 h. ∙ ∙ = 3 5 3 ∙4∙ = i. 5 2 3 2 1 15 2 3 ∙ 4 ∙ = 6 SUMAS ALGEBRAICAS (ADICIÓN, SUSTRACCIÓN y PRODUCTO) CON RACIONALES: Para resolver y efectuar estas sumas algebraicas con racionales al igual que con los Números Naturales es necesario en principio separar en términos, recordemos que los signos de “MAS” y “MENOS” separan en términos siempre y cuando no estén dentro ó encerrados entre paréntesis, corchete o llaves respectivamente. Luego se resuelven los productos y posteriormente las sumas y restas. Por ejemplo: 20 9 29 2 5 3 10 3 ∙ + = + = + = 6 4 12 12 12 3 2 4 XX. 7 2 4 9 7 8 9 35 16 18 32 8 + ∙ − = + − = + − = = 4 5 2 10 4 10 10 20 20 20 20 5 Resuelve los siguientes cálculos entre racionales: 1 5 1 2 7 5 a. ∙ + = 2 4 4 b. ∙ − = 3 2 3 5 c. ∙ 3 2 e. 30 5 3 f. 25 2 15 + = 5 2 3 2 6 1 4 d. ∙ + ∙ = 41 9 2 6 5 3 7 3 9 + ∙ − = 5 3 9 − ∙ + = 2 2 4 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. COCIENTE ENTRE RACIONALES: Cuando se desea realizar el cociente entre dos fracciones (la división), se puede efectuar de dos maneras diferentes: Supongamos por un instante que deseamos hacer el siguiente cociente entre 2 4 fracciones: : , entonces; 3 5 Mediante producto cruzado: Multiplicamos el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda y ese resultado lo colocamos en el numerador de la “Nueva Fracción” y luego efectuamos el producto entre el denominador de la primera fracción y el numerador de la segunda y colocamos dicho número en el denominador de la “Nueva Fracción” y listo… Conversión a producto previa inversión del divisor: 2 4 : = 3 5 = 2.5 = 3.4 10 5 = 12 6 = Se escribe la primera fracción como esta, el signo de la división se lo cambia por el del producto, y posteriormente la segunda fracción se invierte, es decir, que el numerador pasa a ser denominador y el denominador pasa a ser numerador. Luego se efectúa el producto como ya sabemos hacerlo… 2 5 ∙ = 3 4 = = 2.5 = 3.4 10 5 = 12 6 Otros ejemplos: 7 2 7 5 35 : = ∙ = 6 3 5 3 2 15 5 15 2 30 3 : = ∙ = = 4 5 20 2 4 2 8 4 8 15 2 5 10 : = ∙ = . = 9 15 9 4 3 1 3 Observar que en el segundo ejemplo se realizó una simplificación al final, es decir después de multiplicar y en el tercero una simplificación antes de multiplicar. Verificar si se obtiene el mismo resultado simplificando antes de multiplicar en el segundo ejemplo. Lo mismo con el tercer ejemplo verificar si se obtiene el mismo resultado si se simplificará al final en vez de antes de efectuar el producto entre las fracciones. XXI. Efectuar los siguientes cocientes entre racionales, por el método que te resulte más fácil: a. b. c. d. 1 5 : = e. : = g. 4 3 1 2 : = 9 3 7 5 4 2 6 3 : = 5 2 f. h. 9 10 : 5 5 8 4 = : = 3 6 12 24 : 5 9 11 2 9 i. j. = k. : = 3 l. 14 9 : = 3 2 4 8 : = 3 9 2 4 : = 3 6 6 12 : 11 22 1 1 m. : = n. o. = p. 2 3 1 5 : = 5 3 3 9 : = 2 2 2 2 : = 15 3 Habiendo aprendido ya las cuatro operaciones básicas, ahora procederemos a combinarlas entre sí, recuerda que es indispensable en cada cálculo combinado separar en términos en principio y luego resolver de modo conveniente cada término: 42 Matemática I XXII. Prof.: ERMALIUK Hernán N. Resuelve los siguientes cálculos combinados entre racionales: 1 1 a. 2 ( + ) = 2 5 1 1 3 1 b. 2 ( + ) + ∙ = 2 5 1 1 5 6 3 1 5 5 1 4 5 6 2 2 d. + ∙ − : = 2 2 3 8 9 3 5 6 7 2 1 5 6 1 4 8 − : = 5 5 1 7 14 2 5 3 2 5 1 2 = h. ( + ) ∙ 2 − ∙ = 3 4 2 2 5 5 3 4 3 5 4 i. ( − ) : + ∙ = 1 3 3 10 j. e. − + : = 4 ∙ g. 3 ( + ) − : c. 2 ( + ) + ∙ − : = 2 3 14 f. 4 5 3 POTENCIACIÓN ENTRE RACIONALES: 6 3 4 4 3 9 2 2 + ∙ − : = 2 3 3 5 Cuando se presente el caso de tener una potencia de un número racional, es decir, una fracción elevada a un cierto exponente, se resuelve elevando a dicho exponente tanto el numerador como el denominador. Por ejemplo: 3 4 34 81 2 2 22 4 iii. ( ) = 4 = i. ( ) = 2 = 2 2 16 3 3 9 ii. XXIII. 1 3 ( ) = 4 13 43 = 1 iv. 64 Efectúa las siguientes potencias con racionales: 2 2 a) ( ) = c) 5 4 3 2 3 23 ( ) = 53 5 1 4 125 e) ( ) = 2 d) ( ) = 3 8 1 5 ( ) = 7 2 b) ( ) = = f) 4 2 5 3 ( ) = 6 A continuación combinaremos en un cálculo las cinco operaciones aprendidas: XXIV. Resuelve cada calculo combinado con las cinco operaciones: a. b. c. d. e. 1 2 3 5 ( ) + ∙ = 2 2 2 f. 2 2 1 3 ( ) − : = 3 1 g. 3 2 1 2 ( + ) = 2 1 3 1 2 ( − ) = 2 2 3 1 2 ( + ) + 5 h. 2 i. 27 50 = j. 43 5 3 2 11 2 ( + ) −( ) = 2 1 2 4 3 5 4 4 ( ) + ∙ − 6: = 2 2 2 2 2 1 3 2 5 4 ( ) − : + ∙ = 1 2 3 3 2 6 3 5 2 1 2 1 +( ) − ( + )= 1 2 1 2 ( + ) + 3 2 2 4 17 36 = 2 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. RADICACIÓN ENTRE RACIONALES: En el caso que se tenga la raíz enésima (Cualquiera sea la raíz) de un número racional se procede a aplicar dicha raíz tanto al numerador como al denominador. Por ejemplo: XXV. 4 √4 √9 i. √ = ii. √ 25 = √25 √16 iii. 3 8 = √8 9 16 √ 27 2 = 3 3 = 3 √27 5 4 = 2 3 iv. 4 v. 5 vi. 3 √ √ √ 81 625 1 = 32 125 216 Desarrolla y calcula las siguientes raíces con racionales: a. √ b. √ c. √ 3 9 25 100 81 1 16 d. √ 27 3 e. √ = 3 f. √ = 3 = g. √ = h. √ 64 4 1 = 4 √81 4 √625 5 √1 = 1 √125 = 5 = √32 3 3 √216 3 5 2 5 6 4 16 i. √ 625 216 = j. √ 2401 125 = k. √ 243 l. √ 3125 64 = 125 8 16 81 4 5 5 = Finalmente combinaremos las seis operaciones en un solo cálculo. XXVI. = 625 32 = = = 1024 = Resuelve cada calculo combinado: 5 3 3 1 a. + − = 2 4 9 1 c. 4 2 5 2 5 6 7 14 ∙ + : 3 4 4 2 3 3 4 9 2 5 = i. √ 4 2 3 2 3 5 25 3 2 5 f. √ 16 2 6 +( ) = 8 81 49 +√ 2 4 81 16 3 2 2 3 5 36 2 2 3 2 −( ) = +( ) = 1 2 2 2 9 j. ( ) + ∙ − √ = 9 2 e. ( ) + ∙ − √ = 2 4 3 27 h. √ d. + ∙ − ( ) = 5 1 3 5 1 g. ( + ) − ∙ + ( ) = 8 b. − + = 3 4 k. √ 2 44 25 2 2 +( ) = 3 4 Matemática I XXVII. Prof.: ERMALIUK Hernán N. Lee atentamente cada situación, interpreta, plantea, resuelve y luego responde: a. En la casa de Pablo hay un bidón de agua, del cual se consume; durante el almuerzo 1/5 del total, en la cena también 1/5 del total y en el transcurso del día 2/5 del total. ¿Qué cantidad se ha consumido del total? b. Un barco que se encuentra en el mar, accidentalmente choca contra un iceberg y durante la primera hora se hunde 2/5, durante la segunda hora se hunde ½ del total. ¿Se ha hundido completamente el barco? Si no es así… ¿Cuánto falta aún para que termine de hundirse? c. Francisco se ha comido 1/3 de una tableta de chocolate y su hermana 2/6 de la misma. ¿Cuál de los dos ha comido más? ¿Cuánto chocolate comieron ambos de la tableta? ¿Sobro chocolate…? ¿Cuánto? d. Daiana ha pintado 1/3 de su habitación de color violeta, 1/6 de color lila y 2/5 de color verde. ¿Ha terminado de pintar su habitación Daiana? ¿Cuánto le falta? e. Nicole y Nathaian deben redactar un texto. Nicole escribió 5/9 del total y Nathaian 3/8 del total. ¿Han terminado la redacción? Se estima que la redacción consta de 144 páginas. ¿Cuántas páginas transcribió cada uno? f. En un patio de forma cuadrada hay 225 baldosas, de las cuales 1/3 son de color rojo, 5/9 de color azul y las restantes de color blanco. ¿Cuántas baldosas hay de cada color? g. La mamá de Joaquín compró una bolsa de caramelos que contiene 96 unidades. Ella dice que solo podrá comer 1/24 avas partes del total de caramelos por día. ¿Cuántos caramelos podrá comer por día? ¿Para cuantos días le alcanzará la bolsa? h. En una estancia se han cosechado 9870 kilogramos de naranjas de los cuales; 1/6 son pequeñas, 4/5 son de tamaño medio y el resto son grandes. ¿Cuántos kilogramos de naranjas hay de cada clase? i. Las 2/3 partes de un ramo de rosas son blancas, las demás son de color naranja. ¿Cuántas rosas hay de cada color? j. En un auditorio se realizó una encuesta y resultó que; las tres sextas partes del total de los participantes estaban muy interesados en temas relacionados con “Terapias Alternativas”, un sexto del total asistió al evento por curiosidad y el resto le interesaban temas asociados al “Consumo Responsable de los Recursos Naturales NO Renovables”. Si al evento concurrieron 246 personas. ¿Cuántas personas de las que asistieron estaban interesadas en el “Consumo Responsable de los Recursos Naturales NO Renovables”? “Es necesario amarnos a nosotros mismos primero para lograr percibir el amor de los otros hacía nosotros” “Cielo e infierno no son espacios físicos, sólo son estados mentales, según como vivamos y sean nuestros pensamientos viviremos en uno u otro” “Somos y seremos todo aquello que nos demos la oportunidad de ser” Coloca aquí las frases que más te agraden… Felices Vacaciones. 45 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. GUIA DE ACTIVIDADES PARA REVISIÓN DE CONTENIDOS: 1. Resuelve los siguientes cálculos combinados y aplica propiedades, cuando esa posible: a. 310 + 241 − 52 + 1000 + 102 − 21 . 51 = b. 2.3.5 + 2(3 + 1) − 3.6 + 2. (3 − 1): 4 = c. 32 + 2. (5 − 2) − √25 − 9 = 5 d. √32 + 2. (5 − 2)3 − √196 = 3 e. √5 + 3 + 32 . (4 − 2)2 − 530 + (3 + 1)0 = f. 62 + 5(21 − 14) − √169 + 40 = 3 g. (8 + 2)3 − 241 − (√256 − √343) = 6 9 8 h. 271 − 027 + √64 − 132 + √1 + √0 = i. 3 √112 + 13 + 52 (10 − 3) − 590 + (10 + 4)1 − (9 − 4)0 = 3 j. (19 − 4)2 − 141 − (√400 − √8) = 3 7 12 k. 731 − 073 + √729 − 125 + √1 + √0 = 2. Lee atentamente cada situación, interpreta, plantea, resuelve y luego responde: a. Un robot cuando se enciende prende todas sus luces de colores, luego las rojas prenden cada 12 segundos, las azules cada 15 segundos y las amarillas cada 10 segundos. ¿En qué momento penden las rojas y las azules a la vez? ¿Cuándo las amarillas y las rojas prenden a la vez? ¿En qué momento se prenden todas las luces? b. Una empresa de transporte ofrece dos tipos de servicios. Uno a la ciudad de Tandil cada 4 hs y otro a la ciudad de Córdoba cada 6 hs. Si ambos servicios coinciden en su salida a las 0:00 hs cada día. ¿Habrán de coincidir en otro horario en el transcurso de la jornada? De ser así; ¿Cuándo ocurre él hecho? c. Otra compañía de micros de larga distancia tiene servicios a: Los Nogales cada 4 hs. Hacia Los Alerces cada 6hs. Y hacia Los Pinos cada 9 hs. Si salen hoy a las 0:00 todos juntos. ¿Volverán a salir juntos en algún momento? ¿En una semana cuantas salidas simultaneas podrán observarse? d. En un puesto de mercado se disponen de 56 kg de naranjas, 98 kg de pomelos y 63 kg de mandarinas. Para la venta se fraccionan en bolsas que contengan una sola clase de frutas. ¿Cuál es la mayor cantidad de kilogramos que puede contener cada bolsa, si todas deben tener la misma cantidad de kilogramos? ¿Cuántas bolsas de cada clase de fruta se pueden armar? e. Susana tiene 50 flores y desea colocarlas en 7 floreros diferentes. ¿Cuántas flores pondrá en cada florero de modo que haya la misma cantidad en cada uno? ¿Le quedarán flores sin colocar en los floreros? f. Un bloque de hielo en forma de cubo tiene un volumen de 512 cm3. ¿De cuantos centímetros es su arista? g. Franco se ha comido 1/3 de una tableta de chocolate y su hermana 2/6 del total. ¿Cuál de los dos comió más cantidad? ¿Cuánto chocolate comieron entre los dos? ¡Sobra chocolate? ¿Cuánto? 46 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. h. Emiliano realiza ¼ de su tarea por la mañana y 2/4 por la tarde. ¿Ha realizado toda su tarea? Si no es así, ¿Qué parte le falta? i. María debe leer un libro en tres días, el primer día leyó 1/3 del mismo, luego el segundo día 2/5 del total. ¿Cuánto deberá leer el tercer día? Si el libro tiene 60 páginas- ¿Cuántas páginas leyó por día? j. Un manantial arroja 125 litros de agua por minuto. ¿Cuántos litros de agua arrojará en una hora? ¿Y en una semana? ¿Y en un mes? ¿Cuántos litros derramará en un año? k. Eugenio tiene 674 estampillas, desea pegar 22 en cada página de un álbum. ¿Cuántas páginas podrá llenar de manera completa? ¿Alguna página le quedará incompleta? ¿Cuántas podrá agregar? l. ¿Cuántos números de tres cifras pueden escribirse con los dígitos: 2; 3; 5 y 9? Considera el caso con y sin repetición de las cifras. m. ¿Cuántos números de cuatro cifras podrán escribirse con los dígitos: 1; 5; 7; 9 y 4? Considerar el hecho de que puedan repetirse los dígitos y no. ¿Cuál es menor número que puede escribirse? ¿Cuál el mayor? Escribe tres números capicúas. 3. En la siguiente suma algebraica colocar paréntesis para que la igualdad sea correcta: a. 25 + 32.3 − 2.9 + 18 = 117 d. 100: 5 + 5.7 − 4 = 75 b. 25 + 32.3 − 2.9 + 18 = 121 e. 900: 9 + 1 . 4 − 2 = 202 c. 3.4 − 2.4 + 1 + 3 + 3.2 = 14 f. 100: 5 + 5.7 − 4 = 30 a. x + 270 = 421 e. 2x + 101 = 211 b. x – 151 = 15 f. 3x – 52 = 38 c. 5 x + 21 = 51 g. 4.( x + 5 ) = 60 d. 6 x – 44 = 100 h. 12. ( x – 2 ) = 96 4. Determinar el valor de “x”: 5. Completa el número con la cifra que falta para que se cumpla la condición: a. 5 7 __ es divisible por 2 d. 3 __ 6 1 es divisible por 3 b. 1 __ 3 4 es divisible por 6 e. 7 2 __ 4 es divisible por 4 y 6 c. 5 4 __ 9 es divisible por 9 f. 3 1 __ 0 es divisible por 2; 3 y 5 6. Completa la tabla, marca con una “x”, cuando el número en cuestión sea divisible por el que figura en la primera fila. Número 210 99 840 1320 101 1551 2473 9514 6012 2 3 4 5 47 6 8 9 10 11 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. 7. Clasifica las siguientes fracciones y luego ubicarlas en la recta numérica. 1 1 2 3 1 3 5 9 6 ; ; ; ; ; 5 ;2 ; : 4 3 3 2 2 4 2 9 3 8. Efectúa los siguientes cálculos entre fracciones: a. b. c. 2 3 9 4 5 6 5 7 d. + − = 2 4 5 3 e. − + = 6 9 + − 5 2 13 15 8 3 3 9. Despeja la incógnita y halla el valor de “x” 3 2 5 f. = 7 − 11 10 5 7 + = 5 1 1 − + − = 4 5 2 3 3 1 + − − = 4 2 3 3 a. 𝑥 + 52 = 34 − √64 3 b. 2𝑥 − √1331 = 93 − 700 c. 𝑥 + 42 = 111 + 23 d. 2𝑥 − √216 = 83 − 506 e. 𝑥 − 420 = 121 + √144 f. 3𝑥 − 43 = √225 + 21 48 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Soluciones: Cuestionario Sobre el Juego del Ajedrez: 1. En mi caso particular, conozco el juego e incluso he jugado un par de partidas, con amigos o con la computadora. 2. El tablero que se emplea es un cuadrado subdividido de manera tal que queda definida una cuadricula de: 8 filas por 8 columnas, formándose 64 casillas o casilleros cuadrados. El tablero recibe el nombre de DAMERO, ya que en ocasiones se emplea el mismo para el juego de las Damas. Existen otros juegos que emplean el mismo tipo de tablero, incluso han aparecido otras versiones del juego del ajedrez. 3. Cada casilla del tablero de ajedrez se llama “Escaque”, y hay un total de 64 escaques en el mismo, éste valor puede obtenerse haciendo 8 . 8 = 64 4. Además de emplearse el mismo tablero, las piezas para un participante son de color blanco o claro y para el otro de color negro o más oscuro. Son juegos prácticamente de estrategia. 5. Respecto al origen y la historia del juego del ajedrez se remonta cerca del siglo VI, y una primera versión del juego se denominó “Chaturanga” y se jugaba con un tablero monocromático, es decir, de un solo color, dividido del mismo modo que el actual, pero con unas marcas especiales denominadas “Castillos” las cuales no tenían relevancia para el Chaturanga, sino para otro juego llamado “Ashtâpada” de esa época. A su vez existe una leyenda del juego, que la podrán encontrar en la página 10 del cuadernillo de actividades. Y dice algo así: “Un día llega a la corte de un rey, llamado Sheram, el cual que se encontraba muy triste por la pérdida de su hijo en una de las batallas, un Sabio de la región, Sissa, quien le presentó un juego que lograría sacarlo de ese estado de consternación. Ese juego era el Ajedrez. Cuestionario Sobre Geometría: 1. Definiciones: a) Un Punto en el plano es el ente fundamental en geometría, es la unidad, es el comienzo, es adimensional, es decir, que carece de ella o bien no tiene dimensión alguna. También podemos decir que se emplea, el punto para dar una ubicación según se disponga de un Sistema de referencia. b) Un Segmento es un conjunto de puntos alineados, que tiene un inicio o comienzo y un fin, es decir, que tiene extremos bien definidos. Además tiene una dimensión, es decir, que tiene una longitud ó largo. c) Una Recta, por su parte es una sucesión de puntos alineados sin un principio ó comienzo ni fin, es decir que no tiene extremos definidos. Tiene una dimensión, sólo que su longitud es indefinida o infinita. d) Una Semirrecta, es una sucesión infinita de puntos alineados, que tiene un origen, es decir un comienzo, pero no tiene fin o extremo donde termina. También tiene una dimensión, y si bien tiene un origen, su longitud es infinita. e) En geometría dos conceptos claves son el de Paralelismo y Perpendicularidad:  Paralelismo: Diremos que dos segmentos, rectas o semirrectas son paralelos/as cuando tengan la misma dirección, es decir que sus prolongaciones en el caso de los segmentos y las semirrectas no se corten en el plano.  Perpendicularidad: Por otro lado dos segmentos, rectas o semirrectas son perpendiculares cuando formen entre si al cortarse un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90°. 49 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. . PUNTO SEGMENTO RECTA (Sin Dimensión) (Una Dimensión  Longitud) (Una Dimensión  Longitud Infinita) 90° SEMIRRECTA PARALELISMO PERPENDICULARIDAD (Una Dimensión  Longitud Infinita) 2. Un Polígono Cerrado es una figura geométrica compuesta por una cantidad finita (cantidad contable) de segmentos consecutivos que delimitan una región del plano, estos segmentos reciben el nombre de “Lados” y los puntos de unión se denominan “Vértices”. Por su parte un polígono tiene dos dimensiones, por decirlo de algún modo, un “Largo y un Ancho”, dado que ocupa un área o superficie en el plano. Por otro lado si los extremos de un Polígono no coincidieran en un mismo punto, estaríamos en presencia de un “Polígono Abierto” o “Línea Poligonal Abierta” Dentro de los Polígonos Cerrados podemos definir dos grupos:  Polígonos Cóncavos: Son aquellos tales que al trazar un segmento dentro de ellos parte del mismo queda fuera del polígono. Otra definición que se ajusta a ellos es que al menos uno de sus ángulos interiores tiene una amplitud superior a 180°.  Polígonos Convexos: Son aquellos tales que al trazar un segmento dentro de ellos, él mismo queda contenido totalmente dentro del polígono. Otra definición que se ajusta a ellos es que todos sus ángulos interiores tienen una amplitud menor a 180°. A su vez los polígonos convexos pueden clasificarse en:  Regulares: Diremos que un Polígono es Regular cuando todos sus lados tienen la misma longitud y sus ángulos internos la misma amplitud. En geometría se emplea el término lados y ángulos congruentes, para indicar que tienen la misma longitud y amplitud respectivamente.  Irregulares: A contrapartida un Polígono se dice Irregular cuando sus lados tienen longitudes diferentes, como así también sus ángulos interiores tendrán distinta amplitud. Por último para determinar un polígono cerrado hace falta como mínimo tres lados, ya que si se tienen dos segmentos sería imposible hacer que se cierren, coincidiendo en un mismo punto, recuerda que un segmento es un conjunto de puntos alineados (no se curva) con origen y fin, es decir que tiene extremos. POLIGONAL ABIERTA POLIGONAL CERRADA – POLIGONO POLIGONOS CONCAVOS POLIGONOS CONVEXOS POLIGONOS CONVEXOS REGULARES POLIGONOS CONVEXOS IRREGULARES 50 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. 3. Tabla con nombre de polígonos según la cantidad de lados: Cantidad de Lados Nombre Tres Lados Cuatro Lados Cinco Lados Seis Lados Siete Lados TRIÁNGULO CUADRILATERO PENTAGONO HEXAGONO HEPTAGONO Cantidad de Lados Ocho Lados Nueve Lados Diez Lados Once Lados Doce Lados Nombre OCTAGONO ENEAGONO DECAGONO UNDECAGONO DODECAGONO 4. La expresión para determinar el Área o Superficie en un cuadrado teniendo en cuenta que es definido como un polígono regular, sus lados tienen la misma longitud, es decir que tanto su base como altura coinciden en longitud, entonces a expresión que emplearemos para el cálculo de su área o para definir qué porción del plano ocupa el mismo es: A=L.L 5. Un Paralelepípedo Recto: es un cuerpo geométrico formado o delimitado por seis caras (polígonos) rectangulares paralelas dos a dos, es decir que las caras opuestas son paralelas entre sí. Por otra parte un paralelepípedo, como tal tiene un volumen, de modo que ocupa una porción del espacio tridimensional, de ésta manera podemos afirmar que consta de tres dimensiones, por decirlo de algún modo; “Largo, Ancho y Alto”. Los elementos de un prisma son:  Caras: Cada una de ellas es un polígono, y en un paralelepípedo las caras opuestas son semejantes, es decir que tienen la misma dimensión  Aristas: Sería como la intersección entre dos de las caras.  Vértices: Es donde convergen (se juntan) tres o más Aristas. PARALELEPIPEDO Y SUS ELEMENTOS: VÉRTICE CARAS ARISTA 6. Efectivamente, decir Prisma Recto o Paralelepípedo Recto es exactamente lo mismo, no hay diferencia entre uno u otro. 7. En el caso, en que el Paralelepípedo Recto tenga todas sus aristas de igual longitud, se está en presencia de un caso especial que recibe el nombre de “Hexaedro Regular” o “Cubo”. Es denominado uno de los “Sólidos Platónicos”, también denominado uno de los “Sólidos Regulares o Perfectos”, se trata de un cuerpo en el cual, además de tener todas sus aristas de igual longitud, como consecuencia de ello, tiene sus caras semejantes de igual forma y área o superficie. Según la Geometría Sagrada, se asocia el Cubo al Elemento Tierra, con la Vida y la Naturaleza. En cuanto a lo referente a la estructura humana se lo vincula a los huesos y se le asigna el color Verde. 8. Tabla Comparativa: Nombre del Prisma Hexaedro Regular Cubo Cantidad de Caras 6 6 Cantidad de Aristas 12 12 51 Cantidad de Vértices 8 8 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. 9. La expresión para determinar el Volumen de un “Hexaedro Regular” o “Cubo” teniendo en cuenta que es definido como un Paralelepípedo regular, donde sus aristas tienen la misma longitud, es decir que tanto su largo, ancho y altura coinciden en longitud, entonces a expresión que emplearemos para el cálculo de su volumen o para definir qué porción del espacio tridimensional ocupa es: V=a.a.a 10. Según las expresiones que hemos deducido en el ítem 4) y 9) podemos decir que: a) La superficie de un cuadrado cuyo lado mide 6cm es: S= 6cm.6cm  S=36cm². b) El volumen de un cubo, cuya arista mide 4cm es: V=4cm.4cm.4cm  V= 64cm³. 52 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Proyectos Interdisciplinarios: CONSUMO Y CUIDADO DEL AGUA. OBJETIVO GENERAL Valorización de las diversas acciones posibles para el cuidado y consumo responsable del recurso agua. CONTENIDOS ABORDADOS:  Ciencias Naturales: La distribución del agua en la Tierra, el proceso de potabilización y los usos y contaminación del agua  Matemática: Uso de magnitudes para realizar estimaciones y mediciones en función del tamaño u objeto a medir, en este caso, cantidad de agua usada/derrochada en función del tiempo. Proporcionalidad directa. ACTIVIDADES PROPUESTAS: Ciencias Naturales:  Actividad 1: Realizamos una lluvia de ideas sobre lo que los estudiantes conocen del agua. Reconocemos características y propiedades del agua, proponemos algunos ejemplos cotidianos donde puedan observarse las propiedades.  Actividad 2: Distribución de agua dulce y salada y ciclo del agua. Trabajamos sobre la cantidad de agua dulce presente en nuestro planeta, donde se encuentra y la importancia de su cuidado. Trabajamos ciclo del agua como un proceso continuo, donde participa el agua en sus tres estados.  Actividad 3: Acuíferos como reservorio de agua dulce. Definimos acuífero y acuitardo. Marcamos en mapa de Argentina y continente americano los tres acuíferos más importantes: Pampeano, Puelche y Guaraní. Comparamos su superficie.  Actividad 4: Potabilización y desalinización del agua. Analizamos los procesos de limpieza del agua para consumo humano, ya sea del agua dulce para poder ser consumida o del agua salada en zonas de difícil acceso al agua dulce. Relacionamos con los métodos de separación.  Actividad 5: Depuración y contaminación del agua. Aguas residuales. Definimos aguas residuales. Limpieza de aguas residuales para su devolución al medio ambiente. Relacionamos con los métodos de separación Matemática:  Actividad N°1 Observación de un video en grupos para retomar contenidos abordados en el área de Ciencias Naturales, socialización en clase de lo visto y reflexión abordada a partir de preguntas, y conclusiones expuestas en un mapa conceptual https://youtu.be/RJ6e_TFT1O8 53 Matemática I  Prof.: ERMALIUK Hernán N. Actividad N° 2: Resolución de situaciones problemáticas que involucran el uso de unidades de medición y cálculos sencillos de matemática relacionados con el consumo de agua doméstico. (Ver anexo 1) Se comparará el consumo de agua que cada estudiante tiene con el de la familia de Pedro.  Actividad N° 3 Se espera que los estudiantes verifiquen por sí mismos el consumo y/o derroche del agua…… OBJETIVO: Determinar la cantidad de agua que derrama una canilla que gotea. Esta actividad la desarrollarán los estudiantes en sus casas. Y luego el agua recolectada deberá ser utilizada con un fin constructivo, ya sea que decidan consumirla o emplearla en el regado de plantas o árboles. MATERIALES: 1 Vaso o Jarra graduada – 1 Canilla – Cronómetro – Lápiz/lapicera – Papel. PROCEDIMIENTO: PASO 1°: Se coloca el vaso/jarra graduada debajo de la canilla con un goteo regular y en ese momento activar el cronómetro. PASO 2°: Observar el tiempo que transcurre hasta que el nivel del agua alcance los 200 cm3 y detener el cronómetro. PASO 3°: Registrar el tiempo obtenido en el cronómetro. PASO 4°: Repetir la experiencia (Pasos 1º, 2º y 3º) variando la frecuencia del goteo, es decir, un goteo más intenso que el elegido anteriormente y otro más lento. PASO 5°: Colocar los datos observados en una tabla como la siguiente: Goteo de Goteo Regular menor Intensidad Cantidad Tiempo 1 Vaso (200 cm3) 5 Vasos (1 litro) Cantidad Goteo de mayor Intensidad Tiempo Cantidad. 1 Vaso (200 cm3) 1 Vaso (200 cm3) 5 Vasos (1 litro) 5 Vasos (1 litro) Tiempo 1 Día 1 Día 1 Día 1 Semana 1 Semana 1 Semana 1 Mes 1 Mes 1 Mes 1 Año 1 Año 1 Año CONCLUSIÓN: En base a los datos obtenidos se sugiere a los estudiantes que debatan sobre las siguientes cuestiones. a) ¿Qué cantidad de agua derraman las canillas en cada una de las situaciones antes mencionadas? i) En un Día: iii) En un Mes: ii) En una Semana: iv) En un Año: b) ¿Cómo creen ustedes que podrían reducir el derrame innecesario de agua? c) ¿Han observado actividades que fomenten o promocionen el ahorro o disminución del consumo desmedido del agua? 54 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. ANEXO N° 1 Leer la siguiente información referida al consumo de agua doméstica de una familia y responder las preguntas que aparecen al final de la actividad. Para resolver esta actividad deberán utilizar la tabla que muestra el consumo de agua en distintas actividades. El consumo de agua doméstica de una familia La familia de Pedro está constituida por la mamá, el papá y su hermano. Tienen en su domicilio un tanque de agua cuya capacidad es de 1.000 l. Estos durante el día realizan las siguientes actividades que consumen agua: 1. Todos se bañan una vez. 2. Todos se cepillan los dientes cuatro veces. 3. El papá se afeita dos veces a la semana. 4. El papá lava el auto una vez por semana. 5. La mamá riega las plantas tres veces por semana, durante 2 horas. 6. La mamá lava la ropa con el lavarropas a medio llenar tres veces por semana. 7. La mamá limpia la casa. Tabla en la que se muestra el consumo de agua en las distintas actividades Usos del Agua en el Hogar Baño con ducha Baño con Inmersión Descarga del depósito de inodoro Cepillado de dientes Limpieza del Hogar Aseo Consumo de Agua (en Litros) 20-40 l. por vez 150 l. por vez 16 l. por vez Usos del Agua en el Hogar Lavado de Vajilla Lavado de Auto Lavado con lavarropas automático 1 l. por persona por Bebida y preparación día de la comida 10 l. por día Riego con manguera 15-25 l. por día Afeitado Consumo de Agua (en litros) 20 l. por vez 360 l. por vez 150 l. por vez 3-6 l. por día 30 l. por hora 2 l. por vez 1. ¿Todos los días consumen la misma cantidad de agua? 2. ¿Qué cantidad de agua se consume los días que no riega, ni lavan la ropa, ni lavan el auto? 3. ¿Qué cantidad de agua consume en total la familia de Pedro un día en que realizan todas las actividades? 4. ¿Cuál es la actividad que requiere mayor cantidad de agua? 5. ¿Qué otras actividades que consumen agua podrían realizar en el día, además de las que figuran en la tabla?) 6. Si la capacidad de su tanque de agua es de 1.000 litros y hubiera un corte en el suministro, ¿Para cuántos días le alcanzaría el agua realizando las actividades diarias sin considerar el lavado de ropa, auto y riego? 7. Una canilla que gotea derrocha 1 dm³ por hora. ¿Cuántos litros derrocha en un día? 55 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Proyecto Reducir, reutilizar, reciclar Contenidos: Características de los Materiales - Proporcionalidad Materias que intervienen: Matemática - Ciencias Naturales Objetivos: Que el estudiante logre reflexionar sobre el cuidado del ambiente y la separación de los residuos producidos por ellos y su familia.  Preguntar en nuestra casa cuántos kilos de basura tiramos por día (aproximadamente, no es necesario pesar eh!) y estimar cuantos kilos serían por cada integrante de la familia  Luego calcular la basura tirada en una semana, un mes y un año por cada uno de los integrantes de tu familia. Cantidad de Basura (en Kg) Tiempo 1 Día 1 Semana 1 Mes 1 Año  Por último, averiguar la cantidad de habitantes de nuestro partido de Esteban Echeverría, imagínate que tiren la misma cantidad de basura que nosotros: ¿Cuántos kilos serían en un día? ¿Y en una semana? ¿Y en un año? Cantidad de Basura (en Kg) Tiempo 1 Día 1 Semana 1 Mes 1 Año Recursos: Distintos tipos de materiales que se desechen  Cada vez que vayas a tirar algo al tacho, trata de identificar si son inorgánicos u orgánicos, y si son inorgánicos si se pueden reciclar o no. Producto: Ecoladrillo o Ladrillo Ecológico.  Por ahora te propongo que separes los papeles y envoltorios plásticos, que los cortes en trozos pequeños (menores a 5 cm), y que comiences a llenar una botella de 2,25 litros con esos trozos. A medida que lo vayas llenando, ayúdate con una varilla para empujar hacia el fondo y seguir llenando la botella 56 Matemática I Prof.: ERMALIUK Hernán N. Proyecto Estamos en movimiento Contenidos: Energía - Ecuaciones Objetivos: Que los estudiantes comprendan que fenómenos energéticos se dan en situaciones cotidianas, que puedan interpretar cada concepto desde la interacción y resolución de situaciones problemáticas.   Les cuestionamos a las y los estudiantes qué saben de la energía, dónde escuchan esa palabra, dónde la leyeron, con qué situaciones la pueden relacionar Mencionaremos qué hay distintos tipos de energía (potencial, cinética, eléctrica, mecánica, solar, eólica) relacionando con lo que ellos pueden conocer, también comentaremos que existe una interacción entre las energías, de modo que en ocasiones pueden interconvertirse la una en la otra. Actividad: 1. Piensen: ¿A qué se debe que nos digan que si no desayunamos no tenemos energía? ¿Qué significa la palabra energía? 2. Veamos los siguientes videos https://www.youtube.com/watch?v=0awR9mQBgMk https://www.youtube.com/watch?v=t8Iq16EiPhY Podemos dejar en claro entonces dos cosas A. Hay distintos tipos de energía. B. La energía no se crea, ni se destruye, sólo se transforma en otro tipo de energía. Ahora con lo explicado y visto en los vídeos: 3. Nombra 3 tipos de energía. 4. ¿Qué sucede con la energía de una maceta cuando cae desde un balcón? 5. ¿Qué sucede al lanzar una pelota u objeto hacia arriba? 6. ¿Por qué antes de que ruede el carrito de una montaña rusa lo llevan a lo más alto? 7. La Energía Mecánica se compone de Energía Cinética y Potencial, de modo que la suma de las dos últimas conforma a la primera, matemáticamente es posible expresar esto mediante una ecuación de la siguiente manera: EMecánica = ECinética + EPotencial Sabiendo lo anterior que puedes decir según las siguientes situaciones: a) Si la Energía Cinética disminuye. ¿Qué sucede con la Energía Potencial? b) Si la Energía Cinética aumenta. ¿Qué sucede con la Energía Potencial? c) ¿Puede suceder que tanto la Energía Cinética como la Potencial aumenten o disminuyan a la vez? Explique planteando ecuaciones o con ejemplos cada situación. Recursos:  Carpeta, hojas, vídeos de YouTube, encuentro por zoom, Producto: Realiza dibujos de cada situación problemática, explica brevemente qué sucede y coloca valores numéricos a los diferentes momentos planteando las ecuaciones correspondientes (tener en cuenta que la energía Mecánica es constante y única para cada sistema y a su vez es la suma de la energía Cinética y Potencial) 57