Conceito de variável aleatória e de função de distribuição

Teóricamente, uma variável aleatória (VA) é o resultado de uma aplicação do espaço de probabilidade $\Omega$ no eixo dos números reais $R [-\infty,\infty]$. Em termos práticos, trata-se apenas de uma função determinística $X(\omega)$, que à realização de um certo acontecimento aleatório $\omega$ associa um valor numérico $X(\omega)$. Esse valor numérico adquire assim um carácter aleatório porque depende de uma tiragem aleatória. A caracterização duma VA, $X(\omega)$, faz-se através da função de distribuição $F_X(x)$ definida por

$$F_X(x)=Pr[\omega \vert X(\omega) \le x].$$ (C.-2.01)

Para simplificar a notação é costume designar a VA $X(\omega)$, simplesmente por $X$ e a sua função de distribuição por $F(x)$. Uma noção importante é a de igualdade entre VA's. Duas VA's $X$ e $Y$ são consideradas iguais com probabilidade 1 se

$$F(x)=F(y)$$ (C.-2.02)

ou seja, se possuem a mesma função de distribuição. Importa salientar que tal não significa que $X=Y$ em todos os pontos, mas apenas que o conjunto de pontos $I=\{\omega \vert X(\omega)=Y(\omega)\}$ é tal que $Pr(I)=1$. A função de distribuição tem como propriedades evidentes

$$F(-\infty)=0\qquad {\rm e} \qquad F(+\infty)=1,$$ (C.-2.03)

e também que

$$Pr(a < X \le b)=F(b)-F(a).$$ (C.-2.04)

Esta última relação indica que $F(b)-F(A) \ge 0$ o que significa também que a função de distribuição é uma função monótona não decrescente.

Até agora temos falado de VA's contínuas mas podemos, de igual forma, definir VA's discretas. Se o conjunto de acontecimentos possiveis $\Omega$ tem um número finito de elementos, e se considerarmos uma função $X(\omega)$ mensurável, então esta só poderá tomar um número finito de valores designados por $X_i=X(\omega_i)$. Neste caso $X$ é uma VA discreta. A função de distribuição de uma VA discreta pode ser definida por

$$F(x)=\sum_{i=1}^k Pr(X_i=x_i). \qquad x_k < x < x_{k+1}$$ (C.-2.05)

Como resultado, a função de distribuição de uma VA discreta é uma função crescente em escada, tomando valores constantes entre cada valor $x_i,x_{i+1}$ como representado na figura 8.2.

Figura C.2: função de distribuição de uma VA discreta.