En brøk består av teller, brøkstrek og nevner.
Brøk er et matematisk uttrykk for en del eller flere like store deler av en enhet. En brøk skrives vanligvis med en brøkstrek som \(\frac{a}{b}\) eller \(a\)/\(b\).
fra middelnedertysk brök, 'brudd', etter latin fractio, 'brytning'
Mer formelt er en brøk et tall \(\frac{a}{b}\), der \(a\) og \(b\) er hele tall, og \(b\) er forskjellig fra null. En brøk er et rasjonalt tall. En brøk \(\frac{a}{b}\) kan ses som et resultat av en divisjon, en kvotient, der telleren \(a\) er dividenden, og nevneren \(b\) er divisoren.
Noen brøker kan skrives som desimaltall med endelig mange desimaler, som for eksempel \(\frac{1}{2}=0{,}5\) eller \(\frac{34}{10}=3{,}4\). Andre brøker kan skrives som desimaltall med periodisk desimalutvikling, som for eksempel \(\frac{1}{3}=0{,}333 \ldots\).
Brøker brukes i flere ulike sammenhenger, som for eksempel:
Del av en helhet: Emma spiste \(\frac{3}{4}\) av pizzaen.
Kvotient (resultat av en divisjon): To liter saft fordeles på tre barn. Hvert av de tre barna får \(\frac{2}{3}\) liter saft.
Operator (en brøk virker på en tallmengde): Studentene spiste \(\frac{4}{5}\) av to kaker. Studentene spiste \(\frac{4}{5}\cdot 2=\frac{8}{5}\) kaker.
Brøk representert ved et tall på en tallinje: \(\frac{1}{2}\) er større enn \(0\) og mindre enn \(1\). \(\frac{3}{4}\) ligger midt mellom \(\frac{1}{2}\) og \(1\) på tallinjen.
Forhold: Dersom \(1\) dl ren saft blandes med \(5\) dl vann, er forholdet mellom saft og vann \(1:5\). Man har da \(6\) dl saft. Det vil si at \(\frac{1}{6}\) av den ferdigblandete drikken er ren saft.
Når telleren er mindre enn nevneren, kalles brøken en ekte brøk. For eksempel er \(\frac{2}{3}\) en ekte brøk.
Når telleren er større enn eller lik nevneren, kalles brøken en uekte brøk. I noen sammenhenger skrives en uekte brøk som blandet tall. Et blandet tall består av et heltall og en brøk. Egentlig burde det vært et plusstegn mellom heltallet og brøken, men det skrives ikke. Eksempel:
\[\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}\]
En brøk hvor teller og nevner er en brøk, kalles en brudden brøk. En brudden brøk kan gjøres ubrudden ved å gange teller og nevner med fellesnevneren for brøkene i telleren og nevneren. Et eksempel på en brudden brøk er:
\[\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}\]
\(\frac{1}{2}\) og \(\frac{2}{4}\) er likeverdige brøker. En halv pizza er like mye som to firedeler av samme pizza.
Likeverdige brøker, eller ekvivalente brøker, er brøker med samme verdi. De står for samme del av en helhet. For eksempel er brøkene \(\frac{1}{2}\) og \(\frac{2}{4}\) likeverdige.
Likeverdige brøker brukes for eksempel når man skal finne fellesnevner, i addisjon og subtraksjon av brøker, og når man skal sammenlikne brøker med ulike nevnere.
Likeverdige brøker kan fås ved å forkorte eller utvide en brøk.
Å forkorte en brøk vil si at man skriver brøken med lavere tall i teller og nevner. For eksempel er verdien av \(\frac{2}{4}\) og \(\frac{1}{2}\) den samme. Som regel er det lettest å lese og regne med brøker hvor tallene i teller og nevner er så lave som mulig, og til dette bruker man forkorting. Da deler man med det samme tallet i telleren og nevneren. Verdien til brøken blir ikke forandret. Eksempel:
\[\frac{8}{12}=\frac{8:4}{12:4}=\frac{2}{3}\]
Å utvide en brøk vil si at man skriver brøken med høyere tall i teller og nevner. Når man legger sammen og trekker fra brøker, må man ofte finne fellesnevneren, og til dette bruker man utvidelse av brøk. For å utvide en brøk multipliserer man telleren og nevneren med samme tall. Verdien til brøken er uforandret. Eksempel:
\[\frac{2}{5}=\frac{2\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{6}{15}\]
På samme måte som med heltall kan man legge sammen, trekke fra, gange og dele brøker.
To (eller flere) brøker med samme nevner legges sammen (adderes) ved at man beholder nevneren og legger sammen tellerne. Eksempel:
\[\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\]
For å legge sammen brøker med forskjellige nevnere, må man først utvide brøkene så de får samme nevner, også kalt fellesnevner. Et vanlig valg er å bruke minste felles multiplum av de opprinnelige nevnerne som fellesnevner. En annen variant er å utvide den første brøken med nevneren i den andre brøken og motsatt. Eksempel:
\[\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}+\frac{1\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=\frac{9+2}{12}=\frac{11}{12}\]
Fellesnevneren for de to brøkene er lik \(12\). Den første brøken utvides med \(3\), og den andre brøken utvides med \(2\). Da har begge brøkene fellesnevneren \(12\), og tellerne legges sammen.
To (eller flere) brøker med samme nevner trekkes fra hverandre (subtraheres) ved at man beholder nevneren og trekker fra tellerne. Eksempel:
\[\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}\]
For å trekke fra brøker med forskjellige nevnerne, må man først utvide brøkene så de får fellesnevner. Eksempel:
\[\frac{4}{5}-\frac{3}{8}=\frac{4\cdot 8}{5\cdot 8}-\frac{3\cdot 5}{8\cdot 5}=\frac{32}{40}-\frac{15}{40}=\frac{32-15}{40}=\frac{17}{40}\]
Fellesnevneren for de to brøkene er lik \(40\). Den første brøken utvides med \(8\), og den andre brøken utvides med \(5\). Da har begge brøkene fellesnevneren \(40\), og telleren i den andre brøken trekkes fra telleren i den første brøken.
Man ganger (multipliserer) to (eller flere) brøker ved å gange tellerne med hverandre og nevnerne med hverandre. Eksempel:
\[\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}=\frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}=\frac{8}{15}\]
Dette multiplikasjonsstykket er det samme som å ta \(\frac{2}{3}\) av \(\frac{4}{5}\). Dette kan visualiseres ved å dele opp og fargelegge et rektangel. I det venstre bildet er rektangelet delt inn i fem like store deler vertikalt, og fire av disse fem delene er fargelagt. Det vil si at \(\frac{4}{5}\) av rektangelet er fargelagt. I bildet til høyre er rektangelet i tillegg delt inn i tre like store deler horisontalt. Hele rektangelet er nå delt inn i \(5\cdot 3=15\) like store ruter. Det er fargelagt \(\frac{2}{3}\) av \(\frac{4}{5}\) av rektangelet, og det er åtte av femten ruter. Dermed er \(\frac{8}{15}\) av rektangelet fargelagt (to ganger) i det høyre bildet, og \(\frac{8}{15}\) er svaret til multiplikasjonsstykket \(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}\).
Eksempel på et heltall delt på en brøk: Dersom to liter vann fordeles på flasker som rommer \(\frac{1}{2}\) liter hver, hvor mange flasker kan fylles opp? Svar: Det kan fylles opp fire flasker. To delt på en halv er fire.
For å dele en brøk med en annen brøk kan man snu den bakerste brøken og gange brøkene sammen. Dette kan forklares ved at man ser på divisjonsstykket som en brudden brøk. Eksempel:
\[\frac{4}{5}:\frac{2}{3}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}\]
Dersom man så snur den andre brøken, den som nå står i nevneren i den brudne brøken, og ganger den inn i telleren og nevneren i den brudne brøken, blir nevneren lik \(1\):
\[\frac{\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{2}}{\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}}=\frac{\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{2}}{1}\]
Da står man igjen med bare telleren, som altså er den første brøken som skal ganges med den andre brøken snudd opp ned:
\[\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}\]
Eksempel på en situasjon: En flaske inneholder \(\frac{3}{4}\) liter brus. Denne mengden med brus skal fordeles i glass som rommer \(\frac{1}{4}\) liter hver. Hvor mange glass kan fylles?
Svar: Det kan fylles tre glass. Utregning:
\[\frac{\frac{3}{4} l}{\frac{1}{4} l}=\frac{\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{1}}{\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{1}}=\frac{3}{1}=3\]
Bruken av brøkstrek finnes først hos Leonardo Pisano Fibonacci (ca. 1200).
Fra ca. 1800 fvt. brukte egypterne brøker, de foretrakk å skrive stambrøker. Stambrøker er brøker hvor telleren er lik \(1\).
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.