Fraktal er en geometrisk form som kjennetegnes ved stor kompleksitet og detaljrikdom, dessuten ofte en struktur som er uforandret når målestokken endres. Som eksempler på fysiske objekter med fraktale trekk kan nevnes turbulente strømningsmønstre i væsker, den geometriske strukturen til et tre, eller til systemer av blodårer og nervebaner i mennesker; videre landskaper, kystlinjer og fordeling av masse i universet.
Matematisk er en fraktal mengde karakterisert ved at mengdens såkalte Hausdorff-dimensjon (etter Felix Hausdorff) ikke er et helt tall (dimensjonen er fraksjonell; se nedenfor). En fraktal figur vil ofte oppvise selvreproduksjon, det vil si at under forstørrelse vil en enkelt liten del av figuren vise seg nøyaktig lik en tilsvarende del av den opprinnelige figuren.
De fleste fraktale mengder er bestemt ved hjelp av enkle formler, hvor bildet fremkommer ved uendelig repetisjon av samme regel. Koch-kurven (etter den svenske matematikeren Helge von Koch) er en god illustrasjon på hvordan fraktale kurver kan konstrueres. Det midtre stykket av et rett linjestykke erstattes av to like lange stykker, som plasseres som vist på figuren. Når samme prosedyre gjentas på alle fire linjestykkene, får man en kurve som består av 16 linjestykker. Koch-kurven dannes når dette gjentas uendelig mange ganger. Et annet eksempel på et fraktalt objekt er den såkalte Sierpinski-trekanten.
Koch-kurven har noen merkelige egenskaper; for eksempel er lengden mellom to vilkårlige punkter på kurven uendelig stor. Den fyller mer enn en glatt kurve i planet. Mens en glatt kurve har dimensjon 1, og en flate har dimensjon 2, har Koch-kurven en dimensjon mellom 1 og 2, altså en fraksjonell dimensjon. Dette har gitt opphav til betegnelsen 'fraktal' på slike objekter. Ordet skyldes for øvrig Benoit Mandelbrot (1977), som også har gitt navn til den såkalte Mandelbrot-mengden. Han studerte funksjonen \(f(z)=z^2+c\) i det komplekse plan. Ved iterasjon kan man følge banen til et enkelt punkt \(z\). Det vil si at man betrakter følgen \(z, f(z), f(f(z), ..., f^n(z), ...\) der \( f^{n}=f(f^{n-1}(z)\). Mandelbrot-mengden består nøyaktig av de punkter \(c\)i planet slik at følgen \( \{ f^{n}(z)\} \) er begrenset, det vil si ikke vokser ubegrenset når \( n\) vokser. Mandelbrots idé var at fraktalene kan beskrive forhold som ikke dekkes av den klassiske geometri, og at de derfor kan hjelpe oss til å forstå slike ting som planters form, skydannelser og galakser.
Lengden mellom to punkter på en fraktal kurve avhenger av skalaen som den observeres med. For eksempel er lengden av norskekysten mellom Oslo og Trondheim mye større hvis man kan måle detaljer ned til en meters størrelse, enn om den minste avstanden man kan måle, er en kilometer. Med uendelig fin oppløsning øker kurvens lengde mellom to punkter mot uendelig. Den fraktale dimensjon til en typisk kystlinje er 1.2, mens typiske landskaper har fraktal dimensjon på ca. 2.1.
Historikk
Det matematiske grunnlaget for studiet av fraktaler, eller fraktal geometri, ble lagt av Giuseppe Peano (1858–1932), Pierre Fatou (1878–1929) og Gaston Maurice Julia (1893–1978), men det er først ved hjelp av moderne datamaskiner at det har vært mulig å danne seg presise bilder av fraktaler.
Anvendelse
Fraktaler brukes i datagrafikk til å systematisere informasjonen som ligger i naturlige geometriske mønstre, slik at meget naturtro bilder kan skapes. Ved hjelp av fraktale modeller av kompliserte naturfenomener (for eksempel en bregne, se figur) håper man å finne frem til karakteristiske trekk som kan gi ny forståelse både av mikroskopiske og makroskopiske fenomener, og av universets utvikling.
Den største matematiske betydning av fraktaler er knyttet til såkalte dynamiske systemer. I sin enkleste form er slike systemer bestemt av en enkel funksjon f som i eksempelet ovenfor. Kjemiske, biologiske og fysiske prosesser kan ofte beskrives ved dynamiske systemer. Av spesiell betydning er da likevektstilstandene for systemet. Det viser seg at disse ofte beskrives ved en fraktal mengde. Dette har forbindelse til moderne kaosteori. Studiene av dynamiske systemer har bidratt til å kaste nytt lys over fenomener som strømningsmønstre i væsker og gasser, krystalldannelser, elektrolytisk utfelling og ulike former for faseoverganger.
Les mer i Store norske leksikon
Fra artikkel med samme navn, skrevet av Anton Hauge (SML)
fellesnavn for strukturer og mønstre som er de samme uansett forstørrelse: de har egenlikhet og er uavhengig av skalering. Det er ingen dimensjon som er mer naturlig enn alle andre. Fraktaler er kalt naturens egen geometri.
Ordet er laget av en polskfødt fransk matematiker, Benoit Mandelbrot, som var ansatt i IBM. Fraktaler som er frembragt på datamaskiner, følger definisjonen uten unntak, mens fraktaler i naturen avviker mer eller mindre fra de matematisk korrekte.
Bronkialtreet og purkinjesystemet i hjertet er eksempler på anatomiske fraktaler. Det samme gjelder blodstrømsfordeling i lungene og i hjertet. Også tidsrelaterte fenomener kan være fraktaler, for eksempel spredningsmønsteret for epidemiske sykdommer og variasjoner i hjerteslagenes intervaller. Et hjerte som slår jevnt som en metronom er mindre robust enn et med fraktalt slagmønster. Fraktale vekstmønstre er mer motstandsdyktige overfor genetiske feil.
Ordnede, men komplekse geometriske systemer kan dannes som følge av en meget enkel kode. Det trengs lite informasjonsvolum for at fraktale strukturer skal dannes. Derfor blir det færre feil i avlesningen. Fraktale strukturer danner en optimal overgang mellom romlige rørstrukturer (blodårer og luftveier) og en stor diffusjonsflate. Det kan være flere gode grunner til at det finnes så mange fraktale mønstre i levende organismer.