Абелево расширение

Абелево расширение поля — расширение Галуа, для которого группа Галуа является абелевой.

Например, расширение $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ является абелевым: его группа Галуа состоит из двух элементов и является абелевой, нетривиальный автоморфизм переставляет местами числа ${\sqrt {2}}$ и $-{\sqrt {2}}$. Расширение $\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt {3}}i]$ не является абелевым: данное поле является полем разложения многочлена $x^{3}-2$ и его автоморфизмы, фиксирующие $\mathbb {Q}$, переставляют разные корни этого многочлена, то есть группа Галуа этого расширения является симметрической группой порядка 3 и, соответственно, некоммутативна. Важным примером абелева расширения являются циклотомические (круговые расширения), получающиеся присоединением к полю корней из единицы, в случае поля рациональных чисел, вследствие такого расширения получаются круговые поля. Согласно теореме Кронекера — Вебера произвольное абелево расширение рациональных чисел является подполем некоторого кругового поля.

Если поле содержит первообразный корень из единицы степени $n$, то расширение, полученное присоединением к нему корня степени $n$ из некоторого элемента (расширение Куммера), является абелевым. Для общего случая^{[уточнить]} это утверждение не является верным.

Циклическое расширение — важный частный случай абелева расширения, — расширение, для которого группа Галуа является циклической. Произвольное конечное расширение конечного поля является циклическим.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Abelian Extension (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.