Tekst źródłowy strony Punkt stały

[[Plik:Fixed point example.svg|mały|[[Funkcja rzeczywista]] zmiennej rzeczywistej mająca trzy punkty stałe]]

'''Punkt stały''' [[Działanie jednoargumentowe|odwzorowania pewnego zbioru w siebie]] – argument [[Funkcja|funkcji]], dla którego jej wartość jest mu równa. Formalnie: jeśli <math>X</math> jest [[Zbiór|zbiorem]], a <math>f\colon X\to X</math> funkcją na nim, to jej punktem stałym jest każdy element <math>x\in X</math> spełniający równanie<ref>{{Encyklopedia PWN |tytuł = Punkt stały przekształcenia |id = 3964563 |data dostępu = 2021-07-28}}</ref>:
: <math>f(x) = x.</math>

Nie musi to być [[Punkt (geometria)|punkt w sensie geometrycznym]]; punktem stałym może być [[liczba]], [[wektor]], [[Ciąg (matematyka)|ciąg]], [[macierz]], inna funkcja, [[Figura geometryczna|figura]] lub inny zbiór. Ogół wszystkich punktów stałych danej funkcji oznacza się{{fakt|data=2023-08}}:
: <math>\operatorname{Fix}(f) := \{x\in X\colon\; f(x)=x\}.</math>

W różnych dziedzinach [[Matematyka|matematyki]] jak [[algebra]], [[analiza matematyczna|analiza]] czy [[topologia]] udowodniono [[twierdzenie o punkcie stałym|twierdzenia o punkcie stałym]] gwarantujące istnienie takich argumentów dla pewnych typów funkcji. Tak powstała cała dyscyplina poświęcona tego typu zagadnieniom: [[teoria punktu stałego]].

Istnieją [[Uogólnienie|uogólnienia]] tego pojęcia jak:
* [[punkt okresowy]] definiowany dla dowolnej funkcji wewnątrz zbioru;
* [[wektor własny]] określony dla [[endomorfizm]]ów liniowych i [[Macierz#Macierze_kwadratowe|macierzy kwadratowych]].

== Zastosowania ==
Część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktów stałych. Przykłady to{{fakt|data=2023-08}}:
* szukanie optymalnych rozwiązań w [[teoria gier|teorii gier]] (zastosowania w [[ekonomia|ekonomii]]),
* istnienie rozwiązań pewnych [[Równanie różniczkowe|równań różniczkowych]],
* szukanie punktów stałych odwzorowań zbiorów [[częściowy porządek|częściowo uporządkowanych]] (zastosowania w [[informatyka|informatyce]])
* pewne zagadnienia teorii [[układ dynamiczny|układów dynamicznych]] i [[Chaos (matematyka)|teorii chaosu]].

Także rozwiązywanie [[układ równań|układu równań]], np. liczbowych, sprowadza się do szukania punktu stałego pewnej funkcji. Dokładniej, niech <math>X</math> będzie [[przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] (np. <math>\mathbb{R}^n</math> lub <math>\mathbb{C}^n</math>) oraz <math>F\colon X\to X.</math> Punkt <math>x\in X</math> jest rozwiązaniem równania <math>F(x)=0</math> wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania <math>f=\mbox{id}-F.</math>

== Zobacz też ==
* [[nieporządek]]
* [[palindrom]]y – punkty stałe odwrócenia (inwersji) ciągu
* [[własność punktu stałego]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Jezierski |imię = Jerzy |autor link = Jerzy Jezierski |nazwisko2 = Marzantowicz |imię2 = Wacław |autor link2 = Wacław Marzantowicz |tytuł = Homotopy Methods in Topological Fixed and Periodic Points Theory |miejsce = [[Dordrecht]] |wydawca = Springer |rok = 2006}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = FixedPoint | tytuł = Fixed Point }} [dostęp 2023-10-10].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Fixed_point Fixed point]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].
* {{otwarty dostęp}} [[Michael Stevens]], ''[https://www.youtube.com/watch?v=csInNn6pfT4 Fixed Points]'', kanał Vsauce na [[YouTube]], 28 września 2016 [dostęp 2021-03-15].

{{Funkcje matematyczne}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Teoria punktu stałego| ]]