Tekst źródłowy strony Całka Riemanna

{{dopracować|źródła=2013-06}}
[[Plik:Integral example.svg|thumb|Całka jako „zorientowane pole pod wykresem”: wartością całki z rzeczywistej funkcji <math>f</math> na przedziale <math>[a, b]</math> jest [[pole powierzchni]] obszarów zaznaczonych na niebiesko pomniejszone o pole obszaru oznaczonego kolorem żółtym.]]

'''Całka Riemanna''' – pojęcie [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]], zaliczane do [[Całka oznaczona|całek oznaczonych]], pozwalające całkować niektóre funkcje [[Funkcja ciągła|nieciągłe]]<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3967819 | tytuł = całka Riemanna | data dostępu = 2024-06-23 }}</ref>.

Nazwa pochodzi od niemieckiego matematyka [[Bernhard Riemann|Bernharda Riemanna]], który przedstawił tę koncepcję w 1854 roku w swojej pracy [[Habilitacja|habilitacyjnej]] pt. ''Über die Darstellbarkeit einer Funktion durch eine trigonometrische Reihe'' („O reprezentowalności [[funkcja|funkcji]] przez [[szereg trygonometryczny]]”) na [[Uniwersytet w Getyndze|Uniwersytecie w Getyndze]]. Była to pierwsza ścisła definicja [[całka|całki]]{{fakt|data=2024-06}}. Istnieje również [[#Równoważność|całkowicie równoważna całce Riemanna]] konstrukcja '''całki Darboux''', pochodząca od francuskiego matematyka [[Jean Darboux|Gastona Darboux]], który wprowadził ją w swojej pracy z 1870 roku zatytułowanej ''Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre'' („O [[równanie różniczkowe cząstkowe|równaniach różniczkowych cząstkowych]] drugiego rzędu”) i uzasadnił jej równoważność z całką Riemanna w 1875 roku w pracy pt. ''Mémoire sur la theorie des fonctions discontinues'' („Rozprawa o teorii [[funkcja ciągła|funkcji nieciągłych]]”).

Głównymi zaletami całki Riemanna są intuicyjność, klarowność definicji i stosunkowa łatwość wprowadzenia wystarczające częstokroć do większości zastosowań praktycznych; konstrukcja Darboux wymaga nieco mniejszej liczby pojęć niezbędnych do jej przeprowadzenia, przez co stanowi atrakcyjną alternatywę dla konstrukcji Riemanna. Do zasadniczych wad tych całek należy względnie mała ilość [[funkcja całkowalna|funkcji całkowalnych]], czy konieczność [[zbieżność jednostajna|zbieżności jednostajnej]] [[ciąg funkcyjny|ciągu funkcji]] przy zamianie operatorów [[granica ciągu|granicy]] i całki<ref group=uwaga name=note01>W przeciwieństwie np. do [[całka Lebesgue’a|całki Lebesgue’a]], czy [[całka Henstocka-Kurzweila|całki Henstocka-Kurzweila]] (zob. ''[[#Uogólnienia|Uogólnienia]]''), które przy dość łagodnych założeniach dodatkowych umożliwiają zamianę granicy z całką przy [[zbieżność punktowa|zbieżności punktowej]] ciągu funkcyjnego (por. [[twierdzenie Lebesgue’a|twierdzenia Lebesgue’a]] i [[lemat Fatou]]).</ref>, co znacząco zawęża zakres zastosowań teoretycznych. Istnieje [[#Uogólnienia|wiele uogólnień]] tego pojęcia mających na celu pokonanie różnorakich jego ograniczeń.

W swej interpretacji geometrycznej na płaszczyźnie całka to [[operator (matematyka)|operator]] przypisujący danej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] [[funkcja ograniczona|funkcji ograniczonej]] określonej na [[przedział (matematyka)|przedziale]] (rzeczywistym) pewną liczbę rzeczywistą, którą można rozumieć jako [[pole powierzchni]] między jej [[wykres funkcji|wykresem]] a [[Odcięta|osią odciętych]] (pole zorientowane: jego znak zależy od znaku wartości funkcji) – istnienie i wartość tej liczby jest równoważne istnieniu i wartości tzw. ''[[miara Jordana|miary Jordana]]'' wspomnianego obszaru (zob. ''[[#Związek z miarą Jordana|Związek z miarą Jordana]]''). Sama całka Riemanna, podobnie jak miara Jordana, uogólnia się wprost na [[przestrzeń euklidesowa|przestrzenie euklidesowe]] dowolnego wymiaru, co opisano w [[#Całka wielokrotna|osobnej sekcji]].

== Konstrukcje ==
[[Plik:Integral Riemann sum.png|thumb|Przykładowa suma Riemanna z zaznaczonym nieregularnym podziałem z punktami pośrednimi; podprzedział o największej średnicy zaznaczono kolorem czerwonym.]]
{{Osobny artykuł|granica ciągu|szereg (matematyka)|o2=szereg}}

=== Podział przedziału ===
''Podziałem'' <math>P</math> przedziału <math>[a, b]</math> nazywa się każdy (ściśle) [[funkcja monotoniczna|rosnący]] [[ciąg (matematyka)|ciąg skończony]] <math>(p_0, \dots, p_n)</math> elementów nazywanych ''punktami podziału'' tego przedziału, w którym pierwszy i ostatni wyraz ciągu wskazują odpowiednio początek i koniec przedziału, tzn. <math>a = p_0 < p_1 < \dots < p_{n-1} < p_n = b.</math> W każdym z podprzedziałów podziału <math>P</math> można wyróżnić jeden element, nazywany ''punktem pośrednim'': podział <math>P(q_1, \dots, q_n)</math> z punktami pośrednimi <math>q_1, \dots, q_n</math> przedziału <math>[a, b]</math> można zdefiniować jako ciąg skończony <math>(p_0, \dots, p_n, q_1, \dots, q_n),</math> dla którego <math>a = p_0 < p_1 < \dots < p_{n-1} < p_n = b</math> oraz <math>q_i \in P_i</math> dla <math>i = 1, \dots, n.</math> Każda para „sąsiednich” punktów podziału <math>(p_{i-1}, p_i)</math> wyznacza podprzedział <math>P_i = [p_{i-1}, p_i]</math> o długości <math>|P_i| = \Delta p_i := p_i - p_{i-1}</math> dla <math>i = 1, \dots n.</math>

Podział <math>S</math> ''rozdrabnia'' (lub ''zagęszcza'') podział <math>P,</math> jeżeli podział <math>P</math> jest [[Podciąg (matematyka)|podciągiem]] podziału <math>S,</math> tzn. dla każdego <math>i = 1, \dots, m</math> można wybrać <math>j_i = 1, \dots, n</math> tak, że <math>s_i = p_{j_i}.</math> Podobnie definiuje się rozdrobnienie (bądź zagęszczenie) podziału <math>P(q_1, \dots, q_n)</math> przez podział <math>S(t_1, \dots, t_n)</math> z jedynym zastrzeżeniem, by tak stare, jak i nowe punkty pośrednie należały do nowych podprzedziałów; tzn. dla każdego <math>i = 1, \dots, m</math> można było tak wybrać <math>j_i = 1, \dots, n,</math> by <math>r_i = p_{j_i}</math> oraz <math>t_i \in \{q_{j_i}, \dots, q_{j_{i+1}-1}\}.</math>

Równoważnie zamiast rozdrobnień (zagęszczeń) podziałów można rozpatrywać tzw. „ciągi normalne” podziałów. ''Średnicą'' podziału <math>P</math> nazywa się największą długość przedziału, <math>\mathrm{diam}\;P = \max_{i = 1, \dots, n} |P_i|.</math> Ciąg podziałów <math>(P^k)</math> nazywa się normalnym, jeżeli <math>\mathrm{diam}\;P^k \to 0</math> dla <math>k \to \infty.</math>

=== Całka Darboux ===
[[Plik:Darboux.svg|thumb|Sumy dolna i górna Darboux oznaczone odpowiednio kolorami zielonym i zielonym z lawendowym dla czterech podprzedziałów.]]
Niech dana będzie funkcja ograniczona <math>f\colon [a, b] \to \mathbb R.</math> [[Kresy dolny i górny]] funkcji <math>f</math> w danym podprzedziale <math>P_i</math> podziału <math>P</math> przedziału <math>[a, b]</math> oznaczane będą odpowiednio symbolami
: <math>m_{f, P_i} = \inf_{x \in P_i} f(x) \quad\text{ oraz }\quad M_{f, P_i} = \sup_{x \in P_i} f(x);</math>

różnicę tych liczb
: <math>\omega_{f, P_i} = M_{f, P_i} - m_{f, P_i}</math>

nazywa się ''oscylacją'' funkcji <math>f</math> na przedziale <math>P_i.</math>

Odpowiednio ''sumą dolną'' i ''górną'' (Darboux) nazywa się liczby
: <math>L_{f, P} = \sum_{i = 1}^n m_{f, P_i} \cdot \Delta p_i \quad\text{ oraz }\quad U_{f, P} = \sum_{i = 1}^n M_{f, P_i} \cdot \Delta p_i.</math>

Wielkości te umożliwiają zdefiniowanie ''całki dolnej'' i ''górnej'' (Darboux) funkcji <math>f</math> jako odpowiednio
: <math>L_f = \sup\big\{L_{f, P}\colon P \text{ jest podziałem } [a, b]\big\}</math>

oraz
: <math>U_f = \inf\big\{U_{f, P}\colon P \text{ jest podziałem } [a, b]\big\}.</math>

O funkcji <math>f</math> mówi się, że jest ''całkowalna w sensie Darboux'' lub krótko ''D-całkowalną'', jeżeli <math>L_f = U_f;</math> wówczas tę wspólną wartość <math>D_f</math> całki dolnej i górnej Darboux nazywa się po prostu '''całką Darboux'''.

=== Całka Riemanna ===
[[Plik:Riemann sum convergence.png|thumb|Przykład sum Riemanna przy wyborze punktu pośredniego w prawym końcu podprzedziału (niebieski), w wartości minimalnej (czerwony) i maksymalnej (zielony) funkcji w podprzedziale i lewego końca podprzedziału (żółty). Wartość wszystkich czterech przypadków zbliża się do 3,76 przy powiększaniu liczby podprzedziałów od 2 do 10 (w domyśle, również nieograniczenie).]]
Niech dana będzie [[funkcja ograniczona]] <math>f\colon [a, b] \to \mathbb R.</math> ''Sumą częściową'' (Riemanna) nazywa się liczbę
: <math>R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} = \sum_{i = 1}^n f(q_i) \cdot \Delta p_i.</math>

Funkcję <math>f</math> nazywa się ''całkowalną w sensie Riemanna'' lub krótko ''R-całkowalną'', jeśli dla dowolnego ciągu normalnego <math>(P^k)</math> podziałów przedziału <math>[a, b],</math> istnieje (niezależna od wyboru punktów pośrednich) granica<ref group="uwaga" name="note02">Jeżeli dla każdego ciągu normalnego przedziałów odpowiednie sumy Riemanna są zbieżne, to są one zbieżne to jednej i tej samej granicy. Niech <math>(S^k)</math> oraz <math>(U^k)</math> będą dwoma normalnymi ciągami podziałów przedziału <math>[a,b].</math> Ciąg podziałów <math>(P^k)</math> zdefiniowany jako <math>S^1, U^1, S^2, U^2, S^3, U^3, \dots</math> jest normalny, a ponieważ funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, więc granica <math>\lim\limits_{k \to \infty} R_{f, P^k\left(q^k_1, \dots, q^k_{n_k}\right)}</math> istnieje i nie zależy od wyboru punktów pośrednich. Zatem dla podciągów <math>\left(P^{2m}\right)</math> i <math>\left(P^{2m+1}\right)</math> granice muszą być takie same (dowolny podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy), więc <math>\lim\limits_{k \to \infty} S_{f, S_k} = \lim\limits_{k \to \infty} S_{f, U_k}.</math></ref>
: <math>R_f = \lim_{k \to \infty} R_{f, P^k\left(q_1^k, \dots, q_{n_k}^k\right)}</math>

nazywana wtedy '''całką Riemanna''' tej funkcji. Równoważnie: jeżeli istnieje taka liczba <math>R_f,</math> że dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taka liczba rzeczywista <math>\delta > 0,</math> że dla dowolnego podziału <math>P(q_1, \dots, q_n)</math> o średnicy <math>\mathrm{diam}\; P(q_1, \dots, q_n) < \delta;</math> bądź też w języku rozdrobnień: że dla dowolnej liczby rzeczywistej <math>\varepsilon > 0</math> istnieje taki podział <math>S(t_1, \dots, t_m)</math> przedziału <math>[a, b],</math> że dla każdego podziału <math>P(q_1, \dots, q_n)</math> rozdrabniającego <math>S(t_1, \dots, t_m)</math> zachodzi
: <math>\left|R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} - R_f\right| < \varepsilon.</math>

Funkcję <math>f</math> nazywa się wtedy ''całkowalną w sensie Riemanna'' (''R-całkowalną''), a liczbę <math>R_f</math> jej '''całką Riemanna'''.

=== Równoważność ===
[[Plik:Darboux refinement.svg|thumb|Po rozdrobnieniu podziału suma dolna zwiększa się, zaś suma górna zmniejsza się.]]
Jeżeli <math>P'</math> jest rozdrobnieniem <math>P,</math> to <math>U_{f, P} \geqslant U_{f, P'}</math> oraz <math>L_{f, P} \leqslant L_{f, P'}.</math> Jeżeli <math>P_1, P_2</math> są dwoma podziałami przedziału <math>[a, b],</math> to istnieją ich rozdrobnienia <math>P_1' = P_2'</math> (podział złożony z punktów <math>P_1</math> i <math>P_2</math>), mamy więc <math>L_{f, P_1} \leqslant L_{f, P_1'} \leqslant U_{f, P_2'} \leqslant U_{f, P_2},</math> skąd <math>L_f \leqslant U_f.</math>

Sumy Riemanna funkcji zawsze leżą między odpowiadającymi im dolnymi i górnymi sumami Darboux, tzn. dla podziału z punktami pośrednimi <math>P(q_1, \dots, q_n)</math> i odpowiadającego mu podziału <math>P</math> bez punktów pośrednich odcinka <math>[a, b]</math> zachodzi
: <math>L_{f, P} \leqslant R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} \leqslant U_{f, P};</math>

więcej, są to kresy dolne i górne wartości <math>R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}</math> odpowiadającej podziałowi <math>P(q_1, \dots, q_n)</math> z dowolnymi punktami pośrednimi<ref group="uwaga" name="note03">Niech <math>\varepsilon > 0;</math> wyznaczając <math>q_i \in P_i</math> tak, by <math>f(q_i) \geqslant M_{f, P_i} - \varepsilon/(b - a)</math> otrzymuje się

:<math>\begin{align} & R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} = \sum_{i = 1}^n f(q_i) \cdot \Delta p_i \geqslant \\&\geqslant \sum_{i = 1}^n \left(M_{f, P_i} - \varepsilon/(b - a)\right) \cdot \Delta p_i = U_{f, P} - \varepsilon \end{align},</math>

co z dowolności <math>\varepsilon > 0</math> oraz oszacowania <math>U_{f, P} \geqslant R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}</math> pociąga tezę dla kresu górnego; podobnie dowodzi się, że <math>L_{f, P}</math> jest kresem dolnym <math>R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}.</math></ref>.

Stąd jeżeli całka Darboux istnieje, tzn. <math>L_f = U_f,</math> to istnieje również <math>R_f = D_f,</math> tak więc
: <math>U_{f, P} - L_{f, P} = \sum_{i=1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \Delta p_i < \varepsilon</math>

dla dowolnego podziału <math>P,</math> pociąga całkowalność w sensie Riemanna. Nietrudno zauważyć, że istnieje podział z punktami pośrednimi, dla którego całka Riemanna ma wartość dowolnie bliską górnej i dolnej całce Darboux, co oznacza że z istnienia całki Riemanna wynika istnienie całki Darboux.

== Oznaczenia ==
[[Plik:Integral Uprightness.svg|thumb|Różne warianty [[typografia|typograficzne]] znaku całki – od lewej do prawej: symbolu pochylonego w prawo używa się przede wszystkim w krajach anglojęzycznych, symbol prosty pojawia się w publikacjach Europy Środkowej, symbol pochylony w lewo należy do tradycji rosyjskiej; w polskiej literaturze można spotkać każdy z wariantów.]]
Symbol całki {{unicode|∫}} powstał z [[minuskuła|minuskuły]] ſ (tzw. „[[długie s|długiego s]]”)<ref group=uwaga name=note04>Zob. również tzw. „[[esz (litera)|esz]]” ʃ.</ref> używanej przez [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfrieda Leibniza]] w łacińskim słowie ''summa'', oznaczającym sumę, które pisał on ''ſumma''. Dla funkcji <math>f\colon [a, b] \to \mathbb R</math> całki Darboux górną <math>U_f</math> i dolną <math>L_f</math> oznacza się zwykle odpowiednio symbolami
: <math>\overline\int\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx, \qquad \underline\int\!\!\!\!\!\!\!\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx,</math>

zaś samą całkę Darboux <math>D_f</math> oraz całkę Riemanna <math>R_f,</math> dodając przed nimi pierwszą literę nazwiska w nawiasie,
: <math>(\mathrm D) \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx, \qquad (\mathrm R) \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx.</math>

Ze względu na równoważność tych konstrukcji zwykle mówi się wyłącznie o całce Riemanna, przy czym zwykle pomija się oznaczenie literowe, jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień:
: <math>\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx.</math>

== Własności ==
[[Plik:Riemann.gif|thumb|Przedstawienie ciągu sum częściowych Riemanna; liczby w prawym górnym rogu są polami obszaru szarych prostokątów – można zauważyć, że zbiegają one do ustalonej liczby równej całce funkcji.]]
Niech dla dowolnej funkcji R-całkowalnej <math>f \colon [a, b] \to \mathbb R,</math> gdzie <math>a \leqslant b,</math> będą dane jej [[kresy dolny i górny]] oraz kres górny [[wartość bezwzględna|wartości bezwzględnej]]:
: <math>m_f = \inf_{x \in [a, b]} f(x), \qquad M_f = \sup_{x \in [a, b]} f(x) \quad\text{ oraz }\quad K_f = \sup_{x \in [a, b]} \big|f(x)\big|.</math>

Wówczas<ref group="uwaga" name="note05">Dla dowolnego podziału <math>P(q_1, \dots, q_n)</math> oraz dowolnej sumy <math>R_{f, P(q_1, \dots, q_n)}</math> zachodzi <math>m_f \leqslant f(q_i) \leqslant M_f</math> <math>(i = 1, \dots, n),</math> zatem <math>m_f(b - a) \leqslant R_f \leqslant M_f(b - a),</math> gdyż <math>b - a = \Delta p_1 + \dots + \Delta p_n.</math></ref>
: <math>m_f(b - a) \leqslant \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx \leqslant M_f(b - a),</math>

skąd też<ref group="uwaga" name="note06">Wynika wprost z powyższego na mocy nierówności <math>-K_f \leqslant m_f \leqslant M_f \leqslant K_f.</math></ref>
: <math>\left|\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx\right| \leqslant K_f(b - a),</math>

zaś dla funkcji <math>f</math> spełniającej <math>f(x) \geqslant 0</math> dla wszystkich <math>x \in [a, b]</math> zachodzi<ref group="uwaga" name="note07">Wynika wprost z powyższego, gdyż <math>m_f \geqslant 0.</math></ref>
: <math>\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx \geqslant 0.</math>

Całka Riemanna jest [[przekształcenie liniowe|operatorem liniowym]] na [[Przestrzeń funkcyjna|przestrzeni funkcji]] całkowalnych w sensie Riemanna: jeżeli <math>f, g</math> są R-całkowalne oraz <math>c, d \in \mathbb R,</math> to funkcja <math>cf + dg</math> również jest całkowalna w sensie Riemanna i zachodzi<ref group="uwaga" name="note08">[[Funkcja addytywna (algebra)|Addytywność]] <math>R_{f \pm g} = R_f \pm R_g</math> wynika stąd, iż dla ustalonego podziału <math>P(q_1, \dots, q_n)</math> zachodzi równość sum częściowych <math>R_{f \pm g, P(q_1, \dots, q_n)} = R_{f, P(q_1, \dots, q_n)} \pm R_{g, P(q_1, \dots, q_n)},</math> która wraz ze zbieżnością sum po prawej stronie pociąga zbieżność sum po lewej stronie będących odpowiednio całką Riemanna z sumy funkcji <math>f \pm g</math> oraz sumą całek Riemanna z funkcji <math>f</math> i <math>g.</math> Podobnie dowodzi się [[funkcja jednorodna|jednorodności]] <math>R_{cf} = cR_f.</math></ref>
: <math>\int\limits_a^b c f(x) + d g(x)\ \mathrm dx = c \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx + d \int\limits_a^b g(x)\ \mathrm dx.</math>

=== Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego ===
{{Osobny artykuł|podstawowe twierdzenie rachunku całkowego}}
Jeśli <math>f</math> jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest ona całkowalna na <math>[a, x]</math> dla dowolnego <math>x \in [a, b],</math> a funkcja <math>F\colon [a,b] \to \mathbb R</math> dana wzorem
: <math>F(x) = \int\limits_a^x f(t)\; \mathrm dt</math>

jest [[funkcja ciągła|ciągła]] na <math>[a, b]</math> i [[pochodna funkcji|różniczkowalna]] w każdym punkcie ciągłości funkcji <math>f.</math>

=== Twierdzenie Newtona-Leibniza ===
Jeśli <math>f</math> jest ciągła, a <math>F</math> jest jej dowolną [[funkcja pierwotna|funkcją pierwotną]], to zachodzi ''wzór Newtona-Leibniza'',
: <math>\int\limits_a^b f(x) \mathrm dx = F(b) - F(a).</math>

=== Charakteryzacja funkcji całkowalnych ===
{{zobacz też|funkcja całkowalna|zbiór miary zero|o2=zbiór zaniedbywalny}}
Z [[#Równoważność|równoważności konstrukcji]] funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna w sensie Darboux; w tej części artykułu funkcje całkowalne na jeden z tych dwóch sposobów będą nazywane po prostu funkcjami całkowalnymi. Niech dana będzie funkcja <math>f\colon [a, b] \to \mathbb R.</math> Każda [[funkcja ciągła]] <math>f</math> jest całkowalna<ref group="uwaga" name="note09">Funkcja <math>f</math> jest [[funkcja jednostajnie ciągła|jednostajnie ciągła]] (jako określona na przedziale domkniętym) wynika, że dla dowolnego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje podział <math>P</math> odcinka <math>[a, b]</math> o oscylacjach <math>\omega_{f, P_i} < \tfrac{\varepsilon}{b - a}</math> &nbsp; <math>(i = 1, \dots, n);</math> stąd <math>U_{f, P} - L_{f, P} = \sum\nolimits_{i = 1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \Delta p_i < \tfrac{\varepsilon}{b - a} \sum\nolimits_{i = 1}^n \Delta p_i = \varepsilon,</math> zatem funkcja <math>f</math> jest D-całkowalna.</ref>; podobnie, gdy <math>f</math> jest [[funkcja monotoniczna|monotoniczna]]<ref group="uwaga" name="note10">Niech dla ustalenia uwagi funkcja <math>f</math> będzie [[funkcja monotoniczna|niemalejąca]]; jeśli <math>P</math> jest podziałem <math>[a, b]</math> spełniającym <math>\left(f(b) - f(a)\right) \cdot \mathrm{diam}\; P \leqslant \varepsilon</math> dla dowolnie wybranego <math>\varepsilon > 0,</math> to

:<math>\omega_{f, P_i} < f(p_i) - f(p_{i-1})</math> <math>(i = 1, \dots, n),</math>

czyli

:<math>\begin{align} & U_{f, P} - L_{f, P} = \sum_{i = 1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \Delta p_i \leqslant\\& \leqslant \sum_{i = 1}^n \omega_{f, P_i} \cdot \mathrm{diam}\; P \leqslant \\& \leqslant \left(f(b) - f(a)\right) \cdot \mathrm{diam}\; P \leqslant \varepsilon \end{align},</math>

skąd wynika D-całkowalność funkcji <math>f.</math></ref>.

Dokładnego wskazania klasy funkcji całkowalnych można dokonać za pomocą [[teoria miary|teorii miary]]; niemniej funkcje te można opisać definiując pojęcie nieodwołujące się do ogólnej teorii: zbiór <math>E \subseteq \mathbb R</math> nazywa się ''zaniedbywalnym''<ref group=uwaga name=note11>Dowodzi się, że zbiory zaniedbywalne w powyższym sensie odpowiadają dokładnie tzw. [[zbiór miary zero|zbiorom miary Lebesgue’a zero]], tzn. zbiorom, których [[miara Lebesgue’a]] jest równa zeru.</ref> wtedy i tylko wtedy, gdy można [[pokrycie zbioru|pokryć]] go (co najwyżej) [[zbiór przeliczalny|przeliczalną]] liczbą dowolnie krótkich odcinków, tzn. dla każdego <math>\varepsilon > 0</math> istnieje (co najwyżej) przeliczalny ciąg przedziałów <math>(I_n)</math> spełniający <math>E \subseteq \bigcup\nolimits_n I_n</math> oraz <math>\sum\nolimits_n |I_n| < \varepsilon.</math> Przykładami takich zbiorów są np. [[punkt (geometria)|punkt]], tj. [[zbiór jednoelementowy]], dowolne [[zbiór skończony|zbiory skończone]] lub przeliczalne; [[kontrprzykład]]ami są [[odcinek]], czyli przedział, bądź dowolny niepusty [[zbiór otwarty]].

'''Twierdzenie''': [[Funkcja ograniczona]] określona na przedziale domkniętym jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[zbiór miary zero|prawie wszędzie]] [[funkcja ciągła|ciągła]], tzn. zbiór jej nieciągłości jest zaniedbywalny.

Zatem jest ona tym bardziej całkowalna, gdy ma (co najwyżej) przeliczalny zbiór nieciągłości; w szczególności, gdy jest ciągła (zob. wyżej). Wprost stąd wynika, że [[wartość bezwzględna]] <math>|f|</math> funkcji całkowalnej <math>f</math> jest również całkowalna. Podobnie ([[działanie określone punktowo|określony punktowo]]) iloczyn <math>fg</math> dwóch funkcji całkowalnych <math>f, g</math> również jest funkcją całkowalną. Jeżeli [[ciąg funkcyjny|ciąg funkcji]] całkowalnych <math>(f_n)</math> jest [[zbieżność jednostajna|jednostajnie zbieżny]] do funkcji <math>f,</math> to jest ona całkowalna oraz
: <math>\int\limits_a^b f(x)\ \mathrm dx = \lim_{n \to \infty} \int\limits_a^b f_n(x)\ \mathrm dx.</math>

== Całka wielokrotna ==
{{Osobny artykuł|całka wielokrotna|całka iterowana}}
[[Plik:Volume under surface.png|thumb|„Objętość pod powierzchnią” jako uogólnienie intuicji „pola pod krzywą”.]]
{{sekcja stub}}

== Związek z miarą Jordana ==
{{Osobny artykuł|miara Jordana}}
{{sekcja stub}}

== Uogólnienia ==
[[Plik:RandLintegrals.svg|thumb|Różnica ideowa między całką Riemanna/Darboux a całką Lebesgue’a: w pierwszej wprowadza się podział dziedziny, w drugiej – przeciwdziedziny funkcji.]]
Jako pierwsza formalnie zdefiniowana, całka Riemanna jest prototypem wszystkich innych całek, choć konstrukcje wielu z nich są daleko bardziej ogólne niż przedstawione wyżej; niemniej zwykle wymaga się, by dane uogólnienie całki dawało dla funkcji całkowalnej w sensie Riemanna/Darboux ten sam wynik co całka Riemanna/Darboux, nazywana dalej po prostu całką Riemanna. Pełniejszą listę całek można znaleźć w [[całka|osobnym artykule]].

=== Całka Riemanna-Stieltjesa ===
{{Osobny artykuł|całka Riemanna-Stieltjesa}}
Zastąpienie w definicji całki Riemanna końców podprzedziałów danego podziału za pomocą ich obrazów w pewnej funkcji prowadzi do uogólnienia znanego jako ''całka Riemanna-Stieltjesa''; dla dość szerokiej klasy funkcji jest ona równa całce Riemanna, jednak w ogólności może dawać ona różne od niej wyniki. Wykazuje ona duży związek z [[całkowanie przez podstawienie|całkowaniem przez podstawienie]] znajdując zastosowanie w [[teoria prawdopodobieństwa|rachunku prawdopodobieństwa]] (zbudowanym w oparciu o tę całkę).

=== Całki Lebesgue’a, Daniella-Stone’a, Lebesgue’a-Stieltjesa ===
{{Osobny artykuł|całka Lebesgue’a|całka Daniella-Stone’a|całka Lebesgue’a-Stieltjesa}}
Ważnym uogólnieniem całki Riemanna jest ''całka Lebesgue’a'', która jest równoważna z tzw. ''całką Daniella-Stone’a'': funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest też całkowalna w sensie Lebesgue’a (Daniella-Stone’a), a ponadto wartości obu całek wtedy są równe. Przykładem funkcji, która jest całkowalna w sensie Lebesgue’a (Daniella-Stone’a), a nie jest całkowalna w sensie Riemanna jest [[funkcja Dirichleta]]. Dalszym uogólnieniem, łączącym w sobie zalety całki Lebesgue’a i Riemanna-Stieltjesa, jest ''całka Lebesgue’a-Stieltjesa'' nazywana również ''całką Lebesgue’a-Radona'' lub po prostu ''całką Radona''.

[[Plik:Improper integral.svg|thumb|Całka niewłaściwa pozwala na obliczenie pola pod wykresem funkcji nieograniczonej na przedziale ograniczonym i funkcji ograniczonej na przedziale nieograniczonym.]]

=== Całka niewłaściwa ===
{{Osobny artykuł|całka niewłaściwa}}
W każdej z powyższych konstrukcji problematyczne bywa całkowanie funkcji na przedziale otwartym, w szczególności gdy funkcja jest nieograniczona przy jednym z jego końców. Mówiąc o ''całce niewłaściwej'', definiowanej jako granica całek określonych na przedziale domkniętym, którego jeden koniec dąży do końca przedziału otwartego, ma się zwykle na myśli uogólnienie całki Riemanna. Niemniej możliwe jest analogiczne uogólnienie całki Lebesgue’a. Rozpatrywanie [[Całka niewłaściwa|całki niewłaściwej]] dla opisanej niżej całki Henstocka-Kurzweila nie ma sensu, gdyż standardowa wersja tej całki daje ten sam wynik, o czym mówi [[twierdzenie Hake'a]]. Oddzielnym zagadnieniem całki niewłaściwe są tzw. przedziały niewłaściwe, tzn. których końce nie muszą być liczbami rzeczywistymi.

=== Całka Henstocka-Kurzweila ===
{{Osobny artykuł|całka Henstocka-Kurzweila}}
''Całka Henstocka-Kurzweila'' znana również jako ''całka Denjoy'', czy ''Perrona'' (albo ''Denjoy-Perrona'') jest pewnym uogólnieniem całki Riemanna o konstrukcji znacząco od niej nieodbiegającej. W ogólności teoria Henstocka-Kurzweila umożliwia całkowanie wszystkich funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a oraz funkcji całkowalnych w sposób niewłaściwy w sensie Riemanna, co uważane jest za jej główną zaletę. Istnieje drobna modyfikacja całki Henstocka-Kurzweila, znana jako ''całka McShane’a'', która jest równoważna konstrukcji Lebesgue’a – ma ona tym samym wszystkie jej zalety, a jej definicja nie wymaga przy tym ogólnego aparatu [[teoria miary|teorii miary]].

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=0apVanguAy8 Wprowadzenie do sum Riemanna]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 2 grudnia 2016 [dostęp 2024-06-23].
* {{otwarty dostęp}} Helena Kazieko, ''[https://www.youtube.com/watch?v=-GO9mycC5vw Całka oznaczona w sensie Riemanna]'', kanał Nauka / Science [[Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie|SGGW]] na [[YouTube]], 6 maja 2020 [dostęp 2024-08-03].
* {{MathWorld|adres=RiemannIntegral |tytuł=Riemann Integral |data dostępu=12 grudnia 2020}}
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Riemann_integral Riemann integral]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-06-23].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Cauchy_integral Cauchy integral]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-06-23].

{{Całki}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Całki|Riemanna]]
[[Kategoria:Bernhard Riemann]]