碰撞求解（一）：使用向量

[phenomLi]

碰撞求解是紧接着碰撞检测后的一个步骤，顾名思义就是对发生碰撞的对象进行碰撞反应的模拟，比如反弹旋转等。碰撞求解可以说是物理引擎里最难的部分之一了，但是放心，这篇文章会先从最简单的向量部分入门，利用简单的向量知识，模拟简单的碰撞效果。

该文章只涉及少量简单数学，请放心食用。要求：

• 高中向量知识

球与墙壁的碰撞

我们先从最基本的开始，考虑在理想情况下（无重力，阻力，完全弹性碰撞）有一些球在盒子里自由运动的情况：

其中箭头方向代表球的速度方向。

先不考虑球与球直接的碰撞，那么在盒子中，球只会与墙壁发生碰撞，通过碰撞不断改变球的速度方向（大小不变）。我们可以想象到，当球碰撞墙壁时，它的运动轨迹是这样的：

其中蓝色向量代表球碰撞前的速度，红色向量代表球碰撞后的速度。

所以显然的，要求解球碰撞墙壁后的速度方向就是要求红色向量。
为了求解红色的向量，我们可以对这次碰撞进行建模：

u代表碰撞前速度，v代表碰撞后速度，n代表碰撞法向，且u，v关于n对称。碰撞法向n通常情况下不容易求得，但是由于现在情景简单，所以这里我们可以一眼看出n就是垂直与墙壁平面的向量。注意n是一个单位向量。

现在u和n都是已知的，我们要做的就是用u和n去表示v。现在还是不好求出v，但我们可以把v平移到u的起点，然后延长n，延长后的n记为n'。

这时，我们很容易得到一个关键等式：

所以只要求出n'就可以了。那么怎么求呢？观察发现，由于u，v是等长的，u，v和n' 形成了一个等腰三角形，我们可以用投影解决。

首先，我们把u投影到n'上，得到1/2|n'|。

将结果乘上2便得到n'的模长，再由于n'和n是共线的，且n为单位向量，所以只要将n乘上n'的模长即可求得n'：

最后，我们把n'换一下，得到v关于u，n的表达式：

解决了。很简单。

其实整个流程要注意的只有一点，就是n的方向，如果n是指向墙壁外的，那么最后的表达式就要加号换成减号。

球与球的碰撞

有了上面的基础，求解球与球的碰撞就水到渠成了，只要解决两个问题就好：

1. 确定碰撞法线n
2. 墙壁是静止的，球与球是动态的，因此要考虑另一个球的情况：两个球在求解时的法线是相反的

球与球的碰撞法向其实也很简单，相信大家都能看出来是两个球圆心间的向量：

求得后将其单位化即可。

其次对于求解另一个球的v，只要取反向碰撞法向即可，也就是上面说到的加号变减号的情况。

最后

本文只是碰撞求解的入门，在物理引擎中使用上面的方案其实是不现实的，因为对象还包含旋转，摩擦力和非弹性碰撞，单一的求出速度并不能解决所有问题。本文旨在让大家了解什么是碰撞求解，以及对其有个大概的认识。