[TOC]

1. 奇异值分解的定义与性质
   1. 定义与定理
   2. 紧奇异值分解与截断奇异值分解
   3. 几何解释
   4. 主要性质
2. 奇异值分解的计算
3. 奇异值分解与矩阵近似
   1. 弗罗贝尼乌斯范数
   2. 矩阵的最优近似
   3. 矩阵的外积展开式

• SVD是线性代数的概念，但在统计学中有广泛应用，PCA和LSA中都有应用，在本书中定义为基础学习方法。
• SVD是矩阵分解方法，特点是分解的矩阵正交。还有另外一种矩阵分解方法叫做NMF，其特点是分解的矩阵非负。
• 奇异值分解是在平方损失意义下对矩阵的最优近似，即数据压缩。图像存储是矩阵，那么图像也可以用SVD实现压缩。
• 任意给定一个实矩阵，其奇异值分解一定存在，但并不唯一。$\mit\Sigma$是唯一的，$U$和$V^\mathrm{T}$是可变的。
• 奇异值分解有明确的几何意义，事实上，整个线性代数都有明确的几何意义。
• 提到旋转或反射变换。关于反射变换，定点或者定直线对称，定点的叫做中心反射，定直线的叫做轴反射。
• 奇异值分解可以扩展到Tensor。
• 推荐阅读部分推荐了MIT的18.06SC，这里也推荐下3Blue1Brown，快速建立线性代数相关定义的几何直观，如果有具体的哪个点不清楚，不形象，也可以考虑查下。其实，还得多用。
• 接上条，MIT 18.06SC的教材，《Introduction to linear algebra》这个书不错，推荐看。
• 图15.1好好体会下，那个图里面，左上角的图形，两个轴是基矢量，单位长度，所以右侧的图基矢量的长度是$\sigma_1,\sigma_2$，这说明了奇异值的意义。另外，思考下怎么实现。
• $Ax=U\mit\Sigma V^\mathrm{T}x$，所以，按照$V^\mathrm{T}, \mit\Sigma, U$的顺序乘
• $W$有时候表示能量，在这章$W=A^\mathrm{T}A$

这部分内容主要参考3Blue1Brown中Essence of Linear Algebra，目录列举如下：

• Chapter 1: Vectors, what even are they?
• Chapter 2: Linear combinations, span and bases
• Chapter 3: Matrices as linear transformations
• Chapter 4: Matrix multiplication as composition
• Chapter 5: The determinant
• Chapter 6: Inverse matrices, column space and null space
• Chapter 7: Dot products and cross products
• Chapter 8: Cross products vis transformations
• Chapter 9: Change of basis
• Chapter 10: Eigenvectors and eigenvalues
• Chapter 11: Abstract vector spaces

在计算机里面，向量就是一个有序的列表。

$x$轴和$y$轴的交点是原点，是整个空间的中心和所有向量的根源。向量中的数字代表从原点出发依次在每个轴上走多远，最后可以到达向量的终点。

为了把向量和点分开，向量通常竖着写，用方括号包围$\left[\begin{array}\1\2\end{array}\right]$，而点用$(1, 2)$表示。

线性代数的每个主题都围绕着向量加法和向量数乘。

向量的加法定义是唯一一个允许向量离开原点的情形。

在现在理论中，向量的形式并不重要， 箭头，一组数，函数等都可以是向量。只要向量相加和数乘的概念遵守以下规则即可，这些规则叫做公理： $$ \begin{align} &\overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} )+ \overrightarrow{w}\ &\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v}\ &There\ is\ a\ vector\ 0\ such\ that\ 0+\overrightarrow{v}= \overrightarrow{v}for\ all\ \overrightarrow{v}\ &For\ every\ vector\ \overrightarrow{v} there\ is\ a\ vector\ -\overrightarrow{v} so\ that\ \overrightarrow{v} +(-\overrightarrow{v}) =0\ &a(b\overrightarrow{v})=(ab)\overrightarrow{v} \ &1\overrightarrow{v} =\overrightarrow{v} \ &a(\overrightarrow{v} +\overrightarrow{w}) = a\overrightarrow{v} +a\overrightarrow{w} \ &(a+b)\overrightarrow{v} =a\overrightarrow{v} +b\overrightarrow{v} \end{align} $$

$$ \left[\begin{array}\x_1\y_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}\x_2\y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}\x_1+x_2\y_1+y_2\end{array}\right] $$

Scaling，缩放的过程。用于缩放的数字，叫做标量，Scalar。

在线性代数中，数字的作用就是缩放向量。 $$ 2\cdot\left[\begin{array}\x\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}\2x\2y\end{array}\right] $$

向量可以考虑成是把基缩放并且相加，当我们用一组数字描述向量时，他们都依赖于我们正在使用的基。

向量的线性组合与空间张成。

我们通常用向量的终点代表向量，起点位于原点。

1. 直线仍然变成直线
2. 原点保持不变

保持网格平行并等距的变换，向量作为输入输出。

一个二维线性变换，仅由四个数字完全确定。$\left[\begin{array}\i_1& j_1\i_2&j_2\end{array}\right]$描述了线性变换。 $$ \left[\begin{array}\i_1& j_1\i_2&j_2\end{array}\right] \left[\begin{array}\x\y\end{array}\right] =x\underbrace{\left[\begin{array}\i_1\j_1\end{array}\right]}{basis} +y\underbrace{\left[\begin{array}\i_2\j_2\end{array}\right]}{basis} =\left[\begin{array}\xi_1+yi_1\xi_2+yj_2\end{array}\right] $$ 逆时针旋转90度(90 rotation counterclockwise)的线性变换矩阵，可以从x-y的基旋转之后的值来得到。 $$ \left[\begin{array}\0&-1\1&0\end{array}\right] $$

Shear变换 $$ \left[\begin{array} \1& 0 \1& 1 \end{array}\right] $$ 线性变换是操纵空间的一种手段，他保持网格平行等距分布，且原点保持不动。

矩阵乘法的几何意义是一个线性变换之后再跟一个线性变换，两个线性变换的相继作用。

顺序从右到左，因为我们函数在变量左侧。

这部分提到Good Explanation > Symbolic proof

二维平面的结果，可以完美的推广到三维的空间。三维线性变换由基向量的去向完全决定。

The purpose of computation is insight, not numbers.-Richard Hamming

1. 一个矩阵的行列式的绝对值为$k$说明将原来一个区域的面积变为$k$倍，变成0了说明降维了，平面压缩成了线，或者点。

   行列式为0说明降维了。

2. 行列式可以为负数，说明翻转了。这是二维空间的定向，三维空间的定向是“右手定则”

$$ \det(\left[\begin{array} \a&c \b&d \end{array}\right])=ad-bc $$

Linear system of equations

$A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{v}$

寻找一个向量$\overrightarrow{x}$，经过线性变换后和$\overrightarrow{v}$重合

$A^{-1}$的核心性质就是 $$ A^{-1}A= \left[ \begin{array} \1&0 \0&1 \end{array} \right] $$ 这个也叫恒等变换。 $$ A^{-1}A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}=A^{-1}\overrightarrow{v} $$ $\det(A)\neq 0\Rightarrow A^{-1} exists$

Rank代表变换后空间的维数。

矩阵的列告诉我们基向量变换之后的位置，列空间就是矩阵的列所张成的空间。

这部分实际上是书中附录D介绍的内容。

秩的定义是列空间的维数。

满秩，就是秩等于列数

零向量一定在列空间内，满秩变换中，唯一能落在原点的就是零向量自身。

变换后，落在零向量的点的集合是零空间，或者叫核，所有可能解的集合。

$3\times 2$，矩阵是把二维空间映射到三维空间上，因为矩阵有两列，说明输入空间有两个基向量，三行表示每一个基向量在变换后用三个独立的坐标来描述。

$2\times 3$，矩阵是把三维空间映射到二维空间上，因为矩阵有三列，说明输入空间有三个基向量，二行表示每一个基向量在变换后用二个独立的坐标来描述。

$1\times 2$，矩阵是把二维空间映射到一维数轴上，因为矩阵有两列，说明输入空间有两个基向量，一行表示每一个基向量在变换后用一个独立的坐标来描述。

是线性的，一旦知道是线性的，就可以引入对偶性的思考了。

点乘与叉乘非常重要。

$$ A^{-1}MA $$ 暗示着数学上的转移作用，中间的矩阵代表所见到的变换，外侧两个矩阵代表着转移作用，也就是视角上的转换。矩阵乘积仍然代表同一个变换$M$，只不过是其他人的视角。

特征向量，在变换过程中留在了自己张成的空间内，这样的向量叫做特征向量。在变换过程中只受到拉伸或者压缩。

特征向量在变换中拉伸或者压缩的比例因子叫做特征值。

理解线性变换的作用的关键往往较少依赖于你的特定坐标系。 $$ \begin{aligned} A\overrightarrow{v}&=(\lambda I )\overrightarrow{v}\ A\overrightarrow{v} - (\lambda I )\overrightarrow{v}&=0\ (A - \lambda I )\overrightarrow{v}&=0\ \det(A-\lambda I) &= 0 \end{aligned} $$ 这部分，行列式为0的几何意义很重要。如果没有实数解，说明没有特征向量。

Determinant and eigenvectors don't care about the coordinate system. 行列式告诉你一个变换对面积的缩放比例，特征向量则是在变换中保留在他所张成的空间中的向量，这两者都是暗含与空间中的性质，坐标系的选择并不会改变他们最根本的值。

函数实际上只是另一种向量。

• 函数的线性变换，比如微积分中的导数，有时候会用算子来表示变换的意思。
• 求导具有可加性和成比例性。
• 函数空间趋近于无限维
• 多项式空间，求导
• 矩阵向量乘法和矩阵求导看起来是不相关的，但实际上是一家人。

只要处理的对象有合理的数乘和相加的概念，只要定义满足公理，就能应用线性代数中的结论。

抽象性带来的好处是我们能得到一般性的结论。

最后补充一点，关于视频中描述一个变换的中间步骤的过程，可以参考Chapter 14的7:45左右的视频内容体会。

虽然，前面的内容很精彩，但是看完之后，再看书中内容，可能依然....懵...吧，没事，继续看就好。

矩阵的奇异值分解是指将$m\times n$实矩阵$A$表示为以下三个实矩阵乘积形式的运算 $$ A=U\mit\Sigma V^\mathrm T $$

中间有一句，可以假设正交矩阵$V$的列的排列使得对应的特征值形成降序排列。这句怎么理解？

列是轴，实际上不同列的排列，对应的是坐标轴的顺序，不同坐标系顺序的选择，和实际上拿到的最后的向量是没有关系的。

完全奇异值分解：$A=U\mit\Sigma V^\mathrm T$

紧奇异值分解：$A=U_r\mit\Sigma_r V_r^\mathrm T$

截断奇异值分解：$A=U_k\mit\Sigma_k V_k^\mathrm T$

$A_{m\times n}$表示了一个从$n$维空间$\mathbf{R}^n$到$m$维空间$\mathbf{R}^m$的一个线性变换 $$ T:x\rightarrow Ax\ x\in\mathbf{R}^n\ Ax\in \mathbf{R}^m $$ 线性变换可以分解为三个简单的变换：

1. 坐标系的旋转或反射变换，$V^\mathrm{T}$
2. 坐标轴的缩放变换，$\mit\Sigma$
3. 坐标系的旋转或反射变换，$U$

这里面注意，$A$其实就是线性变换，关于线性变换的概念，在前面有整理。

这里比较重要的一个图是图15.1。

1. $AA^\mathrm{T}$和$A^\mathrm{T}A$的特征分解存在，且可由矩阵$A$的奇异值分解的矩阵表示；
2. 奇异值，左奇异向量，右奇异向量之间的关系
3. 矩阵$A$的奇异值分解中，奇异值是唯一的，但是矩阵$U$和$V$不是唯一的，所以numpy.linalg.svd中有参数控制是否输出$U$和$V$
4. Rank
5. r

主要就是一个例子，15.5

这个例子在最后总结的时候，说明了SVD算法最重要的就是$A^\mathrm{T}A$的特征值的计算。特征值有了之后$\mit\Sigma$就拿到了，所以在numpy里面，SVD可以选择输出$\mit\Sigma$还是$U,\mit\Sigma, V^\mathrm{T}$。这里只有$\mit\Sigma$是确定的，$U$和$V^\mathrm{T}$是不唯一的。

有个定义叫做$W=A^\mathrm{T}A$，回顾一下聚类那章定义了$W$是能量，那么我们保存80%-90%的矩阵能量，大概能起到保留重要信息，滤除噪声的作用。

奇异值分解也是一种矩阵近似的方法，这个近似是在弗罗贝尼斯范数意义下的近似。 $$ \left|A\right|F=\left(\sum{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}^2\right)^\frac{1}{2}\ A\in\mathbf{R}^{m\times n}, A=[a_{ij}]_{m\times n} $$

矩阵的弗罗贝尼斯范数是向量的$L_2$范数的直接推广，对应着机器学习里面的平方损失函数。矩阵范数(matrix norm)也是一个很大的概念，详细内容可以扩展下¹。 $$ A\in\mathbf{R}^{m\times n}\ A=U\mit\Sigma V^\mathrm{T}\ \mit{\Sigma}\rm=diag(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n)\ \it\left|A\right|_F\rm=(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\cdots+\sigma_n^2)^\frac{1}{2} $$

$$ \left|A-X\right|F=\min{S\in \mathcal M}\left|A-S\right|F\ \left|A-X\right|F=(\sigma{k+1}^2+\sigma{k+2}^2+\cdots+\sigma_n^2)^\frac{1}{2} $$

$$ \begin{aligned} A&=\sigma_1u_1v_1^\mathrm{T}+\sigma_2u_2v_2^\mathrm{T}+\cdots+\sigma_nu_nv_n^\mathrm{T}\\ &=\sum_{k=1}^nA_k\\ &=\sum_{k=1}^n\sigma_ku_kv_k^\mathrm{T} \end{aligned} $$

其中，$u_kv_k^\mathrm{T}$为$m\times n$矩阵

numpy中linalg提供了svd函数。

这两个习题主要是看紧奇异值分解和截断奇异值分解。

奇异值分解，就是一个矩阵$A$拆成3个矩阵，按照顺序把三个矩阵乘过去，会恢复成原来的矩阵$A$。

这个可以复习下正交矩阵，单位化，正交基， 标准正交基

这个例子看下$v_1$的定义，以及后面的$v_1^\mathrm{T}$，体会一下维度的变化，$u_kv_k^\mathrm{T}$的维度是$m\times n$

这个例子很有意思，实际上这个图，是一种稀疏表示，而矩阵是一种稠密的表示，但是这个矩阵也是一个稀疏矩阵。

还有，这里提到了二部图，实际上在这本书里面应该没讲过二部图。 $$ \left| \begin{matrix} &\color{red}u_1&\color{red}u_2&\color{red}u_3&\color{red}u_4&\color{red}u_5\ \color{green}q_1&0&20&5&0&0\ \color{green}q_2&10&0&0&3&0\ \color{green}q_3&0&0&0&0&1\ \color{green}q_4&0&0&1&0&0 \end{matrix} \right| $$ 这个矩阵恢复出来就是这样的，SVD分解之后，$U$应该是quary的相似度