Integral anizkoitz

 

Integrala bi kurben arteko azalera gisa.

Integral bikoitza, $z=10-{\frac {x^{2}-y^{2}}{8}}$ gainazalaren azpiko bolumen gisa. Gorputzaren behealdeko eremu angeluzuzena integralaren definizio-eremua da. Gainazala, integratu beharreko bi aldagaiko funtzioaren grafikoa da.

Matematikan (zehazki, aldagai anitzeko kalkuluan), integral anizkoitza aldagai erreal anitzeko funtzioen integrala da. Bi aldagaiko $f(x,y)$ funtzioaren $\mathbb {R} ^{2}$ planoko eremu bateko integralari integral bikoitz deritzo, eta hiru aldagaiko $f(x,y,z)$ funtzioaren $\mathbb {R} ^{3}$ espazioko eremu bateko integralari integral hirukoitz. Aldagai bakarreko integral anizkoitzerako, ikus "Integrazio errepikaturako Cauchy-ren formula".

Sarrera

Aldagai bateko funtzio positibo baten integralak funtzioaren grafikoaren eta $OX$ ardatzaren arteko eskualdearen azalera adierazten du. Modu berean, bi aldagaiko funtzio positibo baten integral bikoitzak funtzioak definitutako gainazalaren eta funtzioaren definizio-eremua duen planoaren arteko eskualdearen bolumena adierazten du hiru dimentsioko plano kartesiarrean, non $z=f(x,y)$ den. Funtzioak aldagai gehiago baditu, integral anizkoitzak dimentsio anitzeko funtzioaren hiperbolumena adierazten du.

$n$ aldagaiko $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ funtzioaren integral anizkoitza $D$ eremuan adierazteko, integralaren ikurra hainbat aldiz jartzen da bata bestearen atzetik. Ordena bati jarraituz kalkulatzen dira integralak, ezkerreko integrala kalkulatzen azkena izanik. Ondoren, integratuko den funtzioa idazten da eta amaieran diferentzialen ikurrak, ordena egokian idatzita (eskuineko diferentzialari dagokion integrala kalkulatzen azkena izango da). Integrazio-eremua integrazio-ikur bakoitzean modu sinbolikoan adieraz daiteke, edo bestela modu laburtuan, eskuinean dagoen integral-ikurrean soilik:

$\int \cdots \int _{D}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}.$

Jatorrizko funtzioaren kontzeptua aldagai erreal bakarreko funtzioetarako bakarrik definitzen denez, integral mugagabearen ohiko definizioa ez da zuzenean orokortzen integral anizkoitzera.

Definizio matematikoa

Izan bedi honela definitutako $n$-dimentsioko $T$ tarte erdiirekia, $n>1$ izanik:

$T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$

$[a_{j},b_{j})$ tarte bakoitzaren $P_{j}$ partizio bat kalkula daiteke, hau da, haien artean disjuntuak diren eta guztien artean tarte osoa osatzen duten $I_{j}$ azpitarteen familia finitu bat, non azpitarteak ezkerreko muturrean itxiak eta eskuinekoan irekiak diren.

Hortaz, $T$ tartearen partizio bat

$C=P_{1}\times P_{2}\times \cdots \times P_{n}$

biderkadura kartesiarra da. $C$ partizioa $C_{k}$ izendatuko ditugun $m$ azpitarteren familia bat bada, non $C_{k}$ azpitarteak ez diren gainezartzen (disjuntuak dira) eta guztien bildura $T$ den.

Har dezagun $T$ tartearen $C$ partizio bat,

$T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}.$

Izan bedi $T$ tartean definitutako $f:T\rightarrow \mathbb {R}$ funtzioa. Behetik $n$-dimentsioko $T$ tarteak eta goitik $f$ funtzioaren $n$-dimentsioko grafikoak bornatzen duten $(n+1)$-dimentsioko bolumenaren kalkulua Riemann-en batura honen bidez hurbil daiteke:

$\sum _{k=1}^{m}f(p_{k})\,\operatorname {m} (C_{k}),$

non $p_{k}$ hori $C_{k}$ azpitarteko puntu bat den eta $\operatorname {m} (C_{k})$ hori $C_{k}$ azpitartearen neurria den (ingelesetik, measure), hau da, azpitarteen luzeren biderkadura.

$C_{k}$ azpitartearen diametroa $C_{k}$ sortzen duten $I_{j}$ tarteen luzerarik handiena da. $T$ tartearen $C$ partizio baten diametroa partizioko $C_{k}$azpitarteen diametrorik handiena da. Intuizioz, $C$ partizioaren diametroa txikiagoa den heinean, azpitarteen $m$ kopurua handitu egiten da, eta azpitarteen $\operatorname {m} (C_{k})$ neurria txikitu egiten da. $f$ funtzioa Riemann-en zentzuan integragarria dela esaten da, baldin

$S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(p_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})$

limitea existitzen bada, limitea diametroa gehienez $\delta$ duten $T$ tartearen partizio posible guztietarako egiten delarik.

$f$ funtzioa Riemann-en zentzuan integragarria bada, $T$ tartearen gaineko $f$ funtzioaren Riemann-en integrala S dela esaten da, eta honela idazten da:

$\int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}$

Askotan, notazio hori laburtu egiten da, honela:

$\int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .$

non $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $n$-kotea den eta $d^{n}\mathbf {x}$ $n$-dimentsioko bolumen-diferentziala den.

Hemendik aurrera, Riemann-en $n$ dimentsioko integralari integral anizkoitz deituko zaio.

Propietateak

Aldagai bakarreko funtzioen integraletan betetzen diren propietate asko integral anizkoitzetan ere betetzen dira (linealtasuna, trukakortasuna, monotonia-legea, etab.). Integral anizkoitzen propietate garrantzitsu bat honakoa da: integralaren balioa integrakizunen ordenaren independentea da, baldintza batzuk betetzen badira. Propietate horri Fubini-ren teorema deitzen zaio.

Kasu partikularrak

$T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$denean,

$l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy$

$f$ funtzioaren integral bikoitza da $T$ tartean, eta $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$bada,

$l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

$f$ funtzioaren integral hirukoitza da $T$ tartean.

Integral bikoitza bi integral-ikurren bidez adierazten da eta integral hirukoitza hiru integral-ikurren bidez. Notaziorako akordio hori egokia gertatzen da integral anizkoitz bat integral berritu gisa kalkulatzen denean, artikulu honetan aurrerago azaltzen den bezala.

Integrazio-metodoak

Integral anizkoitzak ebazteko, gehienetan, integral berritu batera laburtzen da, hau da, aldagai bakarreko hainbat integraletan deskonposatzen da, haietako bakoitza zuzenean ebazteko modukoa delarik. Funtzio jarraituetan, hori Fubini-ren teoremaren bidez justifikatzen da. Batzuetan, zuzenean lor daiteke integral anizkoitzaren emaitza, inolako kalkulurik egin gabe.

Hauek dira integrazio-metodo sinple batzuk:

Funtzio konstanteak integratzea

Integratu behar dena $c$ funtzio konstantea denean, integrala $c$ konstantearen eta integrazio-eremuaren neurriaren arteko biderkadura da. Baldin $c=1$ bada eta integrazio-eremua $\mathbb {R} ^{2}$ planoko eremu bat bada, integralak eremuaren azalera ematen du, eta integrazio-eremua $\mathbb {R} ^{3}$ espazioko eremua bada, integralak eremuaren bolumena ematen du.

Adibidea. Izan bitez $f(x,y)=2$ funtzioa eta integrazio-eremu hau:

$D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}.$

Hortaz,

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {azalera} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,$

definizioz

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {azalera} (D)$

baita.

Aldagai-aldaketa

Askotan, integrazio-mugak ez dira trukatzen errazak izaten. Aldagai-aldaketa egitean, integrala eremu "erosoago" batean idazten da eta, horrela, formula sinpleago baten bidez adieraztea lortzen da. Horretarako, funtzioa koordenatu berrietara egokitu behar da.

1a adibidea. Izan bedi $f(x,y)=(x-1)^{2}+{\sqrt {y}}$ funtzioa eta izan bitez $u=x-1$ eta $v=y$, hau da, $x=u+1$ eta $y=v$. Aldagai-aldaketa eginez, honako funtzioa lortzen da: $f_{2}(u,v)=u^{2}+{\sqrt {v}}$.

• Integrazio-eremuarekin antzera egiten da, aldatuak izan diren jatorrizko aldagaiek mugatzen dutelako (adibidean, $x$ eta $y$).
• $dx$ eta $dy$ diferentzialak matrize jacobitarraren determinantearen balio absolutuaren bidez aldatzen dira. Bertan aldaketaren aldagai berriekiko deribatu partzialak daude (kontuan hartu, adibide gisa, transformazio diferentziala koordenatu polarretan).

Aldagai-aldaketen hiru "mota" nagusi daude (bat $\mathbb {R} ^{2}$ planoan, bi $\mathbb {R} ^{3}$ espazioan); hala ere, aldaketa orokorragoak egin daitezke printzipio bera erabiliz.

Koordenatu polarrak

Koordenatu kartesiarretatik koordenatu polarretara aldatzea.

$\mathbb {R} ^{2}$ planoan, integrazio-eremuak simetria zirkularra badu eta funtzioak ezaugarri berezi batzuk baditu, koordenatu kartesiarrak polar bihurtzeko aldaketa egin daiteke (ikus adibidea irudian); horrek esan nahi du, koordenatu kartesiarretako $P(x,y)$ puntu orokorrak koordenatu polarretan dagozkien puntu bihurtuko direla. Aldaketa horrek integrazio-eremuaren forma aldatzeko eta eragiketak sinplifikatzeko aukera ematen du.

Aldaketa hori egiteko funtsezko erlazioa honako hau da:

$x=\rho \cos \varphi$,

$y=\rho \sin \varphi$.

2a adibidea. Izan bedi $f(x,y)=x+y$ funtzioa. Koordenatu kartesiarrak polar bihurtzeko aldaketa aplikatuz, funtzioa honela geratzen da:

$f(x,y)=f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi )$.

2b adibidea. Izan bedi $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ funtzioa. Kasu honetan, honela geratzen da:

$f(x,y)=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}$,

Pitagoras-en identitate trigonometrikoa erabiliz, eragiketa horiek asko sinplifikatzen dira.

Integrazio-eremuaren aldaketa egiteko, $x$ eta $y$ aldagaietatik abiatuz, erradioaren koroaren luzera eta deskribatutako angeluaren anplitudea definitzen dira $\rho$ eta $\varphi$ aldagaien tarteak definitzeko.

Integrazio-eremu baten aldaketaren adibidea, kartesiarretatik polarretara.

2c adibidea. Izan bedi honako integrazio-eremua (2ko erradioa duen zirkulua):

$D=\left\{x^{2}+y^{2}\leq 4\right\}$

Estaltzen duen angelua zirkuluaren angelua denez, $\varphi$ aldagaia 0tik 2$\pi$-ra doa eta koroaren erradioa 0tik 2ra.

2d adibidea. Izan bedi honako integrazio-eremua:

$D=\left\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\right\}$,

hau da, koroa zirkularra $y$ aldagaiaren planoerdi positiboan (ikus irudia 2c adibidean). $\varphi$ aldagaiaren bidez planoaren angelua deskribatzen da eta $\rho$ aldagaia 2tik 3ra doa. Hortaz, integrazio-eremua aldatu ondoren, honako laukizuzena geratzen da:

$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}$.

Aldaketaren determinante jacobitarra honakoa da:

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho$.

Determinante hori lortzeko, hau egin da: $x=\rho \cos \varphi$ eta $y=\rho \sin \varphi$ berdintzen $\rho$-rekiko deribatu partzialak lehen zutabean kokatu dira eta $\varphi$-rekiko deribatu partzialak bigarrenean. Horrela, aldaketarekin $dx\,dy$ diferentziala $\rho \,d\rho \,d\varphi$ bihurtu da.

Funtzioa aldatu eta domeinua ebaluatu ondoren, koordenatu kartesiarretatik koordenatu polarretara aldatzeko formula defini daiteke:

$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi$.

$\varphi$ aldagaia $[0,2\pi ]$ tartean dago eta $\rho$ aldagaiak, aldiz, balio positiboak hartuko ditu, luzeraren neurri bat delako.

2e adibidea. Izan bedi $f(x,y)=x$ funtzioa eta 2d adibideko integrazio-eremua. $D$ eremuaren aurreko analisitik, tarteak ezagutzen ditugu: $\rho$ (2tik 3ra) eta $\varphi$ (0tik $\pi$-ra). Funtzioaren aldaketa honela egingo dugu:

$f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi$.

Integrazioa aplikatuz, honela geratzen da:

$\iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi .$

Tarteak ezagunak izanik, honela geratzen da:

$\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.$

Koordenatu zilindrikoak

Koordenatu zilindrikoak.

$\mathbb {R} ^{3}$ espazioan, oinarri zirkularra duten integrazio-eremuetan integrala kalkulatzeko, koordenatu zilindrikoetara aldatzen da; funtzioaren aldaketa erlazio honen bidez egiten da:

$x=\rho \cos \varphi$,

$y=\rho \sin \varphi$,

$z=z$.

Eremuaren aldaketa grafikoki lortzen da, oinarriaren forma baino ez baita aldatzen, eta altuerak, berriz, hasierako eremuaren formari jarraitzen dio.

3a adibidea. Izan bedi honako eremua:

$D=\left\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ 0\leq z\leq 5\right\}$

(hau da, 2d adibideko irudiko koroa oinarri duen eta 5eko altuera duen "hodi" bat); aldaketa aplikatzen bada, eremu hau lortzen da:

$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}$.

Aldaketarekin $z$ aldagaia ez denez aldatzen, $dx\,dy\,dz$ diferentziala koordenatu polarretarako aldaketan bezala aldatzen dira; beraz, $\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$ bihurtzen da.

Azkenik, koordenatu zilindrikoetarako formula aplika daiteke:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$.

Metodo hau egokia da integrazio-eremua zilindrikoa edo konikoa denean.

3b adibidea. Izan bedi $f(x,y)=x^{2}+y^{2}+z$ funtzioa eta integrazio-eremua honako zilindroa:

$D=\left\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ \ -5\leq z\leq 5\right\}$.

$D$ eremua koordenatu zilindrikoetara aldatuta, honela geratzen da:

$T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}$.

Funtzioa honela geratzen da:

$f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z$.

Hortaz, integrala honela geratzen da:

$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz;$

Formula garatuz,

$\int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi$.

Koordenatu esferikoak

Koordenatu esferikoak.

$\mathbb {R} ^{3}$ espazioan, zenbait integrazio-eremuk simetria esferikoa dute; beraz, integrazio-eremuko puntuen koordenatuak bi angeluren eta distantzia baten bidez adieraz daitezke. Orduan, koordenatu esferikoetara pasatzea egokia gertatzen da; funtzioa erlazio honen bidez aldatzen da:

$x=\rho \cos \theta \sin \varphi$,

$y=\rho \sin \theta \sin \varphi$,

$z=\rho \cos \varphi$.

$OZ$ ardatzeko puntuek ez dute karakterizazio zehatzik koordenatu esferikoetan; beraz, $\theta$ aldagaia 0 eta $2\pi$ artean alda daiteke.

Aldaketa honetarako integrazio-eremurik egokiena esfera da.

4a adibidea. Izan bedi

$D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16\right\}$

(zentroa jatorrian duen 4 erradioko esfera). Aldaketa egin ondoren, honako eremua lortzen da:

$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$.

Aldaketa horren determinante jacobitarra honakoa da:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi$.

Beraz, $dx\,dy\,dz$ diferentziala honela geratzen da: $\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$.

Integrazio-formula honela geratzen da:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$.

Hobe da metodo hori erabiltzea integrazio-eremua esferikoa denean eta funtzioa erraz sinplifikatzen denean $\mathbb {R} ^{3}$ espaziora hedatutako trigonometriaren lehen oinarrizko erlazioen bidez (ikus 4b adibidea). Beste kasu batzuetan, koordenatu zilindrikoak erabiltzea egokiagoa izan daiteke (ikus 4c adibidea).

$\iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .$

Formulan agertu diren $\rho ^{2}$ eta $\sin \varphi$ jacobitarretik datoz.

Hurrengo adibideetan $\varphi$ eta $\theta$ aldagaiek jokatzen duten paperak trukatuta daude.

4b adibidea. Izan bedi 4a adibideko $D$ eremua eta demagun $f(x,y)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ funtzioaren integrala kalkulatu behar dela. Aldaketa oso erraza da:

$f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2}$.

$D$ eremua aldatuz lortutako $T$ eremuaren tarteak ezagutzen ditugu:

$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$.

Beraz, integrazio-formula aplikatzen dugu:

$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$,

eta, garatuz, honakoa lortzen da:

$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}.$

4c adibidea. Izan bedi $D$ eremua erdigunea jatorrian duen $3a$ erradioko pilota,

$D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}$,

eta izan bedi $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ integratu beharreko funtzioa.

Integrazio-eremua ikusita, koordenatu esferikoetara pasatzea egokia dela dirudi; $T$ eremu berria mugatzen duten aldagaien tarteak hauek dira:

$T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}$.

Hala ere, aldaketa eginda, funtzioa honela geratzen da:

$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta$.

Integral hau lortzen da:

$\iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$.

Integral berrituen bidez kalkulatzen da.$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}$.

$I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}$;

$II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}$;

$III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi$.

Zati guztiak bilduz, honela geratzen da:$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}$.

Beste modu batera egin daiteke, koordenatu zilindrikoetara pasatuz. Hauek dira $T$ eremuaren tarte berriak:

$T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\}$;

$z$ aldagaiaren tartea lortzeko, pilota bi hemisferiotan zatitu da, $D$ eremuaren formulatik aldagaia askatuz (eta, orduan, $x^{2}+y^{2}$ zuzenean aldatuz $\rho ^{2}$ lortzeko). Funtzio berria $\rho ^{2}$ besterik ez da. Integrala honela geratzen da:

$\iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$.

Hau lortzen da:

${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.\end{aligned}}$

Integral hirukoitza koordenatu zilindrikoetara aldatuz, oso erraz ebazten den aldagai bakarreko integral bat lortu da.

Adibideak

Integral bikoitza laukizuzen batean

Demagun aldagai anitzeko $f$ funtzioaren integrala kalkulatu nahi dugula $A$ eremu batean:

$A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ eta }}f(x,y)=x^{2}+4y\,$.

Honako integrala kalkulatuko dugu.

$\int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy$

Lehenik, barneko integrala egiten da, $x$-rekiko integratuz eta $y$ konstante moduan hartuz, ez baita integrazio-aldagaia. Integral horren emaitza soilik $y$-ren mendeko funtzio bat da.

${\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y.\end{aligned}}$

Emaitza hori, ondoren, $y$-rekiko integratzen da:

${\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719.\end{aligned}}$

Funtzioaren balio absolutuaren integral bikoitza finitua den kasuetan, integrazio-ordena trukagarria da, hau da, lehenengo $x$-rekiko integratzeak edo lehenengo $y$-rekiko egiteak emaitza bera sortzen du (Fubiniren teorema). Adibidez, aurreko kalkulua alderantzizko ordenan eginez gero, emaitza bera lortzen da:

${\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}$

Integral bikoitza eremu erregular batean

Adibidea: integral bikoitza $D$ eremu erregularrean.

Izan bedi honako eremua (ikus grafikoa):

$D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}$.

Kalkula dezagun honako integrala:

$\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy$.

$D$ integrazio-eremua erregularra da $OX$ eta $OY$ ardatzekiko. Integrala kalkulatzeko, $D$ eremua zehazten duten funtzioak eta funtzio horiek definituta dauden tarteak aurkitu behar dira. Kasu honetan, bi funtzioak honakoak dira:

$\alpha (x)=x^{2}{\text{ eta }}\beta (x)=1$.

Tarteak kalkulatzeko, funtzioen eta $x=0$ ardatzaren arteko ebaki-puntuak kalkulatu behar dira. Tartea $[a,b]=[0,1]$ da ($OX$ ardatzarekiko erregulartasuna aukeratu da, hobeto ulertzeko).

Integrala honela geratzen da:

$\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}$

(hasteko, bigarren integrala kalkulatzen da, $x$ konstante moduan hartuz). Gainerako eragiketak egiteko, integraziorako oinarrizko teknikak aplikatzen dira:

$\int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}$.

Erregulartasuna $OY$ ardatzarekiko aukeratuz gero, integrala honela geratzen da:

$\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx$

eta balio bera lortzen da.

$OXY$ planoarekiko erregularra den $\mathbb {R} ^{3}$ espazioko eremu bat.

Bolumenen kalkulua

Aipatutako metodoak erabiliz, hainbat solido arrunten bolumenak kalkula daitezke.

• Zilindroa: $R$ erradioko oinarri zirkularra duen $h$ altuerako zilindro baten bolumena kalkulatzeko, $h$ funtzio konstantea integra daiteke integrazio-eremu gisa oinarri zirkularra hartuz eta koordenatu polarrak erabiliz.

$\mathrm {Bolumena} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h$.

Hori bat dator prisma baten bolumena kalkulatzeko formularekin:

$\mathrm {Bolumena} ={\text{oinarriaren azalera}}\times {\text{altuera}}.$

• Esfera: $R$ erradioa duen esfera baten bolumena kalkulatzeko, 1 funtzio konstantearen integrala kalkula daiteke integrazio-eremu gisa esfera hartuz eta koordenatu esferikoak erabiliz.

${\begin{aligned}{\text{Bolumena}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}$

• Tetraedroa (piramide triangeluarra edo 3-simplex-a): goi-erpina jatorrian eta $l$ luzerako albo-ertzak $OX$, $OY$ eta $OZ$ ardatzetan dituen tetraedroaren bolumena kalkula daiteke, 1 funtzio konstantea integratuz eta integrazio-eremu gisa tetraedroa hartuz.

${\begin{aligned}{\text{Bolumena}}&=\int _{0}^{l}dx\int _{0}^{l-x}\,dy\int _{0}^{l-x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{l}dx\int _{0}^{l-x}(l-x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{l}\left(l^{2}-2lx+x^{2}-{\frac {(l-x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=l^{3}-ll^{2}+{\frac {l^{3}}{3}}-\left[{\frac {l^{2}x}{2}}-{\frac {lx^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{l}\\&={\frac {l^{3}}{3}}-{\frac {l^{3}}{6}}={\frac {l^{3}}{6}}.\end{aligned}}$

Hori bat dator piramide baten bolumena kalkulatzeko formularekin:

$\mathrm {Bolumena} ={\frac {1}{3}}\times {\text{oinarriaren azalera}}\times {\text{altuera}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}$.

Integrazio-eremu bornegabe baten adibidea.

Integral inpropio anizkoitzak

Integrazio-eremua bornegabea denean edo integratu behar den funtzioa eremuaren mugan bornegabea denean, integral inpropio bikoitza edo hirukoitza erabili behar da.

Ikus, gainera

• Jatorrizko funtzio
• Deribatu
• Limite
• Aldagai anitzeko kalkulua

Kanpo estekak

• (ingelesez) Wolfram Mathworld. Multiple integral (https://mathworld.wolfram.com/MultipleIntegral.html)
• (gazteleraz) Wolfram Alpha (https://www.wolframalpha.com) Integral anizkoitzen kalkulagailua (https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/calculus-and-analysis).
• (gazteleraz) Maxima. Aljebra konputazionalerako sistema bat (https://maxima.sourceforge.io/es/index.html)

• Datuak: Q844937