Гарманічныя ваганні

Графікі функцый f(x) = sin(x) і g(x) = cos(x) на дэкартавай плоскасці.

Гармані́чныя вага́нні — ваганні, пры якіх функцыя стану сістэмы змяняецца з часам наступным чынам:

$x=A\sin(\omega t+\phi _{0}),$

дзе A — амплітуда ваганняў, $\omega$ — вуглавая частата, $\phi _{0}$ — пачатковая фаза (гэта значыць фаза, у якой сістэма знаходзіцца у момант часу t = 0).

Скорасць і паскарэнне матэрыяльнага пункта, які здзяйсняе механічныя гарманічныя ваганні, роўныя

$v={\frac {dx}{dt}}=A\omega \cos(\omega t+\varphi _{0}),$

$a={\frac {dv}{dt}}=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi _{0}).$

З апошняй роўнасці вынікае дыферэнцыяльнае ўраўненне гарманічнага вагання:

$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi _{0})=-\omega ^{2}x$

або

$\omega ^{2}x+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=0.$

Такім чынам, пры механічным гарманічным ваганні паскарэнне матэрыяльнага пункта прапарцыянальна яго адхіленню ад пункта раўнавагі. Адпаведна другому закону Ньютана, гэта магчыма, калі на яго дзейнічае сіла, велічыня якой вызначаецца формулай:

$F=-kx,$

дзе k — каэфіцыент прапарцыянальнасці. Знак «мінус» адлюстроўвае той факт, што сіла дзейнічае ў напрамку, адваротным да адхілення.

Вуглавая частата ваганняў складае

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.$

Яна, такім чынам, цалкам вызначаецца параметрамі сістэмы, што вагаецца, і не залежыць ад амплітуды ваганняў.

Прыклады сістэм, у якіх адбываюцца механічныя гарманічныя ваганні:

• цела на пружыне
• матэматычны маятнік
• фізічны маятнік

Прыкладам сістэмы, у якой здзяйсняюцца электрычныя гарманічныя ваганні, з'яўляецца вагальны контур.

Гл. таксама

• Гарманічны асцылятар
• Гарманічны рад гукаў
• Матэматычны маятнік
• Фізічны маятнік
• Псеўдагарманічныя ваганні

Літаратура

• Гарманічныя ваганні // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 5: Гальцы — Дагон / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1997. — Т. 5. С. 63.