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0124. 二叉树中的最大路径和

• 标签：树、深度优先搜索、动态规划、二叉树
• 难度：困难

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题目大意

描述：给定一个二叉树的根节点 root。

要求：返回其最大路径和。

说明：

• 路径：从树中的任意节点出发，沿父节点——子节点连接，到达任意节点的序列。同一个节点在一条路径序列中至多出现一次。该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。
• 路径和：路径中各节点值的总和。
• 树中节点数目范围是 $[1, 3 * 10^4]$。
• $-1000 \le Node.val \le 1000$。

示例：

• 示例 1：

输入：root = [1,2,3]
输出：6
解释：最优路径是 2 -> 1 -> 3 ，路径和为 2 + 1 + 3 = 6

• 示例 2：

输入：root = [-10,9,20,null,null,15,7]
输出：42
解释：最优路径是 15 -> 20 -> 7 ，路径和为 15 + 20 + 7 = 42

解题思路

思路 1：深度优先搜索

使用深度优先搜索递归遍历二叉树。递归遍历的同时，维护一个最大路径和变量 self.max_sum。定义函数 dfs(self, root) 计算二叉树中以该节点为根节点，并且经过该节点的最大贡献值。

计算的结果可能的情况有 $2$ 种：

1. 经过空节点的最大贡献值等于 0。
2. 经过非空节点的最大贡献值等于「当前节点值」+「左右子节点的最大贡献值中较大的一个」。

在递归时，我们先计算左右子节点的最大贡献值，再更新维护当前最大路径和变量。最终 self.max_sum 即为答案。

具体步骤如下：

1. 如果根节点 root 为空，则返回 0。
2. 递归计算左子树的最大贡献值为 left_max。
3. 递归计算右子树的最大贡献值为 right_max。
4. 更新维护最大路径和变量，即 self.max_sum = max(self.max_sum, root.val + left_max + right_max)。
5. 返回以当前节点为根节点，并且经过该节点的最大贡献值。即返回「当前节点值」+「左右子节点的最大贡献值中较大的一个」。
6. 最终 self.max_sum 即为答案。

思路 1：代码

class Solution:
    def __init__(self):
        self.max_sum = float('-inf')

    def dfs(self, root):
        if not root:
            return 0
        left_max = max(self.dfs(root.left), 0)
        right_max = max(self.dfs(root.right), 0)
        self.max_sum = max(self.max_sum, root.val + left_max + right_max)
        return root.val + max(left_max, right_max)

    def maxPathSum(self, root: TreeNode) -> int:
        self.dfs(root)
        return self.max_sum

思路 1：复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉树的节点数目。
• 空间复杂度：$O(n)$。递归函数需要用到栈空间，栈空间取决于递归深度，最坏情况下递归深度为 $n$，所以空间复杂度为 $O(n)$。