ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Le concept de relation est la base de toute la mathématique dont le but est d'étudier par observation et déduction (raisonnement), calcul et comparaison, des configurations abstraites ou concrètes de ses objets (nombres, formes, structures) en cherchant à établir les liens logiques, numériques ou conceptuels entre ces objets. Dans les années 1970-80, l'enseignement à l'école et au collège de cette notion était cependant prématuré.

Considérons deux ensembles non vides E et F. Si à certains éléments de E on peut associer par une règle mathématique précise R (non ambiguë) un élément y de F, on définit ainsi une relation de E dans F (ou vers F) dite binaire car faisant intervenir deux éléments. On écrit :

   Relation d'ordre : »            Relation d'équivalence : »

Si x R y, on dit que y est une image de x par la relation R et que x est un antécédent de y par cette même relation.

 ➔  Au lieu de relation binaire, on peut aussi parler de correspondance de E vers F.

• Dans E = F = Z, on pose : x R y  ssi  y est le carré de x. On a 3 R 9 mais z R 8 est fausse pour tout z de Z. 8 n'a donc pas d'antécédent par R ou que 8 n'est pas une image. On remarque que -3 et 3 ont la même image.

• Pour la relation R ci-dessus, 9 est l'unique image de 3 mais 9 est aussi l'image de - 3 : le nombre 9 admet deux antécédents qui sont - 3 et 3.

L'ensemble D_R des éléments de E qui ont au moins une image par R est l'ensemble (ou domaine) de définition de R.

Lorsque chaque élément de E possède au plus une image (aucune ou une seule) par une relation R, on dit que R est une fonction et on note y = R(x), plutôt que x R y. On dira que y est exprimé en fonction de x : c'est l'unique image de x par R.

• Soit S : N → Z  et x S y  ssi  x = | y |. On a 3 S 3 et 3 S (-3) : 3 possède deux images. Seul 0 possède une seule image. La relation S n'est pas une fonction, c'est une correspondance de N dans Z

• Soit R : E → F . La correspondance φ qui à tout x associe {y ∈F / x R y} est une fonction de E dans P(F), ensemble des parties de F.

• Dans E = F = Z, la relation R définie par « x R y  si et seulement si  y est le carré de x » est une fonction. On peut la rebaptiser f, ou bien c comme "carré" : on écrira c(-3) = 9 et d'une façon générale  y = c(x)  avec y = x².

La notation fonctionnelle initiée par Leibniz :  »

Si D_f = E, on dira que la fonction f est partout définie, elle prend alors le nom d'application.

• •  La fonction c définie ci-dessus est une application.
  •  La fonction f : N →Q, f(x) = 1/n n'en est pas une : 0 n'a pas d'image.

Il existe de multiples façons de définir une fonction (ou une application). Par exemple :

• •  f : N → N, f(x) = x²   la flèche signifiant  « vers ».
• •  f est la fonction définie pour tout x de N par f(x) = x²
• •  f : x → x², x∈N   la flèche signifiant ici « a pour image ».

∗∗∗
Soit f la fonction définie par y = f(x) si et seulement si y > 0 et x est le carré de 1/y. Exprimer y en fonction de x.
Préciser l'ensemble de définition de f.  Rép : y = 1/√x, D_f = ]0,+∞[

Lors de l'enseignement des mathématiques modernes dans l'enseignement secondaires, voire primaire (années 70), on introduisit le langage des ensembles et l'étude préalable des relations binaires pour une approche plus rigoureuse de la notion de fonctions. On parla alors de diagramme (ou de schéma) sagittal (du latin sagitta = flèche).

La représentation graphique de la relation R ci-dessus, cette fois définie de E = {-3, -2 , -1, 0, 1, 2, 3} vers F = {0, 1, 2, 3, ..., 9} conduirait au diagramme sagittal ci-dessous :

Une relation de E dans E fournirait un diagramme sagittal du type :

et on reconnaîtra la relation R définie dans E = {0, 1, 2, 3, 5} définie par a R b ⇔ a - b est divisible par 3 (en se restreignant au niveau de l'école élémentaire : pas de nombres négatifs). Sinon, on obtiendrait :

 

D'une façon générale :     

• Le bouclage de chaque élément montre une relation réflexive : a R a, tout élément est en relation avec lui-même (cas de l'égalité, de l'ordre numérique usuel ≤, de l'inclusion des ensembles...)

• La présence systématique d'une flèche retour indique une relation symétrique : a R b ⇔ b R a

• Un diagramme triangulaire cyclique indique la transitivité : si a R b et b R c alors a R c.

 ➔  L'antisymétrie rencontrée dans la relation d'ordre (à la fois réflexive, antisymétrique et transitive) : si a R b et b R a alors a = b (cas de l'ordre usuel ≤, de l'inclusion des ensembles, de la divisibilité, ...) n'est pas représentable de façon pertinente.

Il en est de même de l'antiréflexivité pour signifier que a R a n'a lieu pour aucun élément a (cas de la relation < dans un ensemble numérique, dite d'ordre strict ) !

Quoi qu'il en soit, ces diagrammes à vertu pédagogique sont d'un usage limité : le cas d'une relation d'équivalence (à la fois réflexive, symétrique et transitive) devient très vite surchargé !

∗∗∗
1.  Que pourrait donc être la relation définie dans {0, 3, 6} schématisée ci-dessus ?  Rép : ordre strict a < b.
2. Soit P une partie de N, et R la relation définie dans N par x R y ssi (x,y)∈P² :  Que dire de R ?

Rel. d'équivalence : »      Rel. d'ordre : »      Congruences :  »      Th. des graphes : »

Soit R une relation de E vers F. L'ensemble des couples (x,y) tels que x R y est appelé graphe de la relation R. C'est une partie du produit cartésien E x F.

On peut représenter ces couples (qui ne sont pas nécessairement numériques : tout dépend de de la relation) dans un repère. On parle alors de représentation graphique ou de courbe représentative de la relation R. Dans le cas d'une fonction, il s'agira de l'ensemble des points M(x,y) tels que y = R(x).

• Ci-dessous la représentation graphique de quelques couples d'entiers (x,y) lorsque R est la fonction définie dans N par y = c(x), carré de x. L'ajout de valeurs non entières de x permettrait de faire apparaître une courbe usuelle que l'on devine en filigrane... :

La parabole : »

La fonction partie entière :

Si x est un nombre réel, il existe un unique entier relatif n appelé partie entière de x tel que n ≤ x < n+1.

On écrit n = Ent(x) ou encore Int(x), Int pour integer = entier en anglais. On rencontre aussi les notations E(x) et [x].

Il s'agit d'une fonction en escalier, constante sur tout intervalle [n,n+1[ et vérifiant E(x + 1) = E(x) + 1 pour tout x.

• E(2) = E(2,7) ; E(-1,7) = -2 ; E(√7) = 2 et E(-√7) = -3 ; E(-2) = -2 mais E(-3,2) = - 4

•  !  Plus généralement, si x négatif non entier du type x = -n,d alors E(x) = -(n + 1), ce n'est  pas la troncature de la partie décimale !

• La fonction E n'est pas additive : E(3,7 + 1,8) = E(5,5) = 5 ≠ E(3,7) + E(1,8) = 4.

• En général : E(kx) ≠ k.E(x). Par exemple : E(3 x 2,4) = 7 alors que 3 x E(2,4) = 6.

Ci-dessous la représentation graphique de la fonction partie entière sur l'intervalle [-3;+3] :

∗∗∗
1. Montrer que la fonction f définie par f(x) = x - E(x) pour tout x réel est périodique, de période 1.
2. Montrer que pour tout x > 0 : E(1000x + 0,5)/1000 est son arrondi au millième. » arrondis en JavaScript et sur tableur

Notion de fonction périodique :  »

Soit R une relation de E vers F. Lorsque cela se peut, la relation R', de F vers E, définie par x R' y  ssi  y R x, est dite réciproque de R.

• Reprenons l'exemple de départ noté ici C :  x C y ⇔ y est le carré de x. La relation réciproque est définie par :  x C^' y  ⇔ x est le carré de y. C'est dire que y est la racine carrée de x ou l'opposé de cette racine :  9 est le carré de 3, c'est aussi celui de -3. On peut donc écrire, en notant Rac la relation C^' : x Rac y   ⇔ y = √x  ou  y = -√x.

• On a vu que la relation S : N → Z  et x S y  ssi  x = | y | n'est pas une fonction puisque tout x non nul a deux images x et -x. Mais x S' y ⇔ y = | x | : S' est une fonction (et même une application) de Z vers N qui à tout x de Z associe sa valeur absolue.

Lorsqu'elle existe, la réciproque de R est généralement notée R^­1. Lorsque R est une fonction ainsi que R^-1, on parle de fonction réciproque de R.

En savoir plus sur les fonctions, fonctions composées et fonctions réciproques :  »